Parmi les nombres réels, les rationnels, qui sont les quotients de deux entiers, sont considérés comme les plus simples. Un problème profond de théorie des nombres consiste à étudier comment on peut approcher un nombre irrationnel par des rationnels. Bien sûr, un réel peut toujours être approximé aussi près que l’on veut par des rationnels : il suffit d’écrire le développement décimal et de le couper assez loin, selon la précision voulue. Par exemple, le nombre $\pi$ peut être approché au cent-millième près par $3\,1415/10\,000$. Cette approximation est bien moins bonne que $355/113$, qui approche $\pi$ à $2\cdot10^{-7}$ près : en effet, avec un dénominateur plus petit ($113$ contre $10\,000$), on obtient une précision dix fois meilleure.

Il est d’usage de mesurer la « qualité » d’une approximation ou mieux, d’une famille d’approximations, par la taille de leurs dénominateurs. Ainsi, on sait depuis les travaux de Dirichlet au XIX^e siècle que l’on peut approximer n’importe quel réel par des des rationnels avec une précision donnée par le carré du dénominateur : pour tout $x$, on peut trouver une infinité d’entiers $p$ et $q$ tels que
\[\left|x-\frac{p}{q}\right|\le\frac{1}{q^2}.\]
Ceci signifie que l’on peut approcher tout réel $x$ aussi près que l’on veut par des bonnes approximations.

Peut-on choisir une fonction plus petite que $1/q^2$ pour avoir des approximations encore meilleures ? On sait grâce à Hurwitz (1891) que dès que l’on met $f(q)=\frac{1}{\sqrt5 q^2}$ à la place de $\frac1{q^2}$, certains nombres ne sont plus approchables. Une exception connue est le nombre d’or $(1+\sqrt5)/2$.

En 1924, élargissant le point de vue, Khintchine a démontré un résultat emblématique qui décrit un phénomène de « tout ou rien » : en gros, étant donné une qualité d’approximation demandée, soit presque aucun nombre réel ne peut être approché à cette précision, soit presque tous les nombres réels peuvent l’être. Ici, « presque tout réel » a un sens technique : tout réel en dehors d’un ensemble de mesure nulle ; cela exprime que la probabilité de tomber sur une exception est nulle.

Plus formellement, étant donnée une fonction $f(q)$, l’ensemble des réels pour lesquels l’inéquation $\bigl|x-\frac{p}{q}\bigr|\le f(q)$ admet une infinité de solutions est soit de mesure nulle, soit de mesure pleine. Khintchine a de plus décrit une classe de fonctions $f(q)$ (plus petites que $1/q^2$) pour lesquelles presque tout réel $x$ était bien approchable.

En 1941, Duffin et Schaeffer ont amélioré le résultat de Khintchine et ont proposé une conjecture qui décrit complètement les conditions que l’on peut imposer à $f$. Sommes-nous prêts pour un énoncé technique (en) ? La conjecture exprime que pour une fonction positive $f$, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour presque tout réel $x$, il existe une infinité de rationnels $p/q$ tels que $\bigl|x-\frac{p}{q}\bigr|\le f(q)$ ;
2. la série $\sum f(q)\varphi(q)$ est divergente (où $\varphi$ est l’indicatrice d’Euler).

C’est cette conjecture que Koukoulopoulos et Maynard ont démontré : elle est donc une amélioration optimale du résultat de Khintchine.