Figure sans paroles #4.1.17

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.17

    le 11 janvier 2020 à 15:14, par Hébu

    Dans un triangle quelconque, on trace la hauteur $AD$, puis depuis $D$ les perpendiculaires $DE$ sur $AB$ et $DF$ sur $AC$.

    Les points $B, E, F, C$ sont cocycliques.

    .
    En fait, c’est assez simple, je m’offre le luxe de deux preuves !

    Les triangles $ABD$ et $ADE$ sont semblables. De $AB/AD=AD/AE$ on déduit $AB\times AE=AD^2$.

    Même calcul avec $ACD$ et $ADF$, d’où $AF\times AC=AD^2$.

    Finalement, $AB\times AE=AF\times AC$. Prenant un cercle, passant par $B, E$ et $C$, la puissance de $A$ indique que le point $F$ sera sur ce cercle.

    .
    Autre idée. Le quadrilatère $AEDF$ est inscriptible, d’où on déduit les angles $\widehat{DEF}=\widehat{DAF}$, $\widehat{EFD}=\widehat{EAD}$.

    Maintenant dans $BEFC$, $\widehat{BEF}+\widehat{FCB}=\pi/2+\widehat{DAF}+\widehat{C}=\pi$ — il est donc inscriptible.

    Document joint : idm4-1-17.jpg
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