Figure sans paroles #4.10.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • 4.10.1

    le 9 de septiembre de 2018 à 17:24, par Hébu

    Un triangle $ABC$, rectangle en $C$. Depuis $C$ on abaisse la hauteur $CH$ sur l’hypothénuse, puis on trace la bissectrice de $\widehat{BCH}$, qui va couper $BH$ en $J$. Depuis $A$ on mène une parallèle à $CJ$, qui va couper $CH$ en $N$. On a aussi placé le point $M$, milieu de $BC$.

    .

    Il s’agit de voir que $M, J$ et $N$ sont alignés.

    .

    On peut appliquer le résultat de Ménélaus, qui dit que $M, J, N$ sont alignés si
    \[ \frac{\overline{JH}}{\overline{JB}}\times \frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}\times \frac{\overline{NC}}{\overline{NH}} = 1 \]

    Puisque $M$ est milieu de $BC$, le second rapport vaut $-1$. Puisque $CJ$ est la bissectrice, alors $JH/JB=CH/CB$ (avec un signe << - >>).

    .

    Pour le troisième rapport, je propose de tracer la perpendiculaire, abaissée de $J$ sur $BC$ — appelons-la $JK$. Les triangles $JKC$ et $JHC$ sont égaux et donc $CK=CH$. Et puisque les triangles $ANC$ et $ACB$ sont semblables (les angles sont égaux, comme on le voit rapidement), alors $NC/NH=CB/CK$.

    Finalement, le produit des rapport devient
    \[ \frac{\overline{CH}}{\overline{CB}}\times \frac{\overline{CB}}{\overline{CK}} \]
    Et avec $CH=CK$, on trouve bien un rapport égal à 1.

    On peut remarquer aussi que $AJC$ est un triangle isocèle, et donc $AC=AJ$ (mais on n’en fait rien).

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

Tribuna

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.