Figure sans paroles #5.5.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.5.2

    le 13 janvier 2020 à 17:57, par Hébu

    Un quadrilatère $ABCD$ inscrit dans un cercle. Les tangentes au cercle menées de $C$ et $D$ se coupent au point $E$. Depuis $E$ des parallèles à $BD$ et $AC$ coupent $AD$ en $F$ et $BC$ en $G$.

    Les points $A, B, G, F$ sont cocycliques.

    .
    Il est assez simple de calculer certains angles de la figure. On observe ainsi que les triangles $EDF$ et $ABD$ sont semblables (angles en $F$ et $D$ égaux par construction ; $EDC$ est isocèle, ce qui permet de calculer $\widehat{EDC}=\widehat{DAC}$ d’où on tire $\widehat{FDE}=\widehat{DBA}$).

    On aura de même les triangles $ECG$ et $BAC$ semblables.

    Ces similitudes permettent d’écrire $ED/EF=AB/AD$, et $EC/EG=AB/BC$. Le quotient dz czs égalités conduit — se souvenant que $ED=EC$ — à $EG/EF=BC/AD$.

    Les triangles $HBC$ et $HAD$ étant, eux aussi, semblables, $BC/AD=HC/HD$. Ce qui conduit à la similitude de $EGF$ et $HCD$ (angles en $H$ et $E$ égaux, côtés qui vérifient $EG/EF=HC/HD$).

    Ce qui implique que $FG$ et $CD$ sont (soient ?) parallèles, les angles en $F$ et $E$ sont égaux aux angles $D$ et $C$ du quadrilatère $ABCD$ : $ABGF$ est donc inscriptible.

    .
    Une « ribambelle » de similitudes, en somme. Avec comme point -clé l’égalité EC=ED

    Document joint : idm5-5-2-2.jpg
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