Enunciado

La respuesta es $AX= 5 DY$.

Sean $M$ el punto medio de $BC$ y $N$ el punto de intersección de $AM$ con la recta $XY$. Entonces $N$ es el punto medio de $AM$, y como $AXM$ es isósceles, $AN$ es perpendicular a $XY$. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el largo del lado del cuadrado es de $10\,\mathrm{cm}$. Como $BM= \frac{10}{2}=5 \, \mathrm{cm}$, por el teorema de Pitágoras tenemos $AM= \sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}\,\mathrm{cm}$ y $AN= \frac{1}{2} AM= \frac{5\sqrt{5}}{2}\,\mathrm{cm}$.

Los triángulos rectángulos $ABM$ y $ANX$ son semejantes pues el valor del ángulo en $A$ es el mismo para ambos triángulos. Luego

$\frac{AX}{AN} = \frac{AM}{AB}$

$AX = \frac{AN \times AM}{AB}$

$AX = \frac{25}{4}\,\mathrm{cm}.$

Tracemos la paralela a $BC$ que pasa por $Y$ y denotemos como $I$ su punto de intersección con la recta $AB$. Los triángulos $ABM$ e $YIX$ son congruentes, ya que sus lados son perpendiculares dos a dos y $AB=IY$. Luego, $IX=BM=5\,\mathrm{cm}$. Por lo tanto, $DY=AX-IX=\frac{25}{4}-5=\frac{5}{4}\,\mathrm{cm}$, y finalmente, $AX= 5 DY$.