Un desafío por semana

Abril 2017, segundo desafío

El 14 abril 2017  - Escrito por  Ana Rechtman
El 14 abril 2017
Artículo original : Avril 2017, 2e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 15 :

¿Cuántos pares de enteros $(x,y)$ satisfacen la siguiente ecuación?:

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5}$

Solución del primer desafío de abril:

Enunciado

La respuesta es $28$ puntos.

El número de puntos que obtuvo del sexto al noveno partido es $23+14+11+20 = 68$. Denotemos como $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{10}$ los puntos que obtiene en los $10$ partidos. El promedio por juego es $\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{10}}{10} =18$, es decir, $x_1+x_2+\cdots+x_{10} =180$. Entonces, $x_1+x_2+\cdots +x_5 +68 + x_{10} =180$. Luego, tenemos:

$x_{10} = 180 - 68- (x_1+x_2+\cdots+x_{5}) =112- (x_1+x_2+\cdots+x_{5}).$

Por otra parte, sabemos que:

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{9}}{9} > \frac{x_1+x_2+\cdots+x_{5}}{5}$

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{5}}{9} + \frac{68}{9} > \frac{x_1+x_2+\cdots+x_{5}}{5}$

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{5}}{9} - \frac{x_1+x_2+\cdots+x_{5}}{5} > -\frac{68}{9}$

$- 4 x_1 - 4 x_2 - \cdots - 4x_{5} > -\frac{68}{9}\times 9 \times 5= -340$

$-x_1 - x_2 - \cdots - x_{5} > \frac{-340}{4}=-85.$

Reemplazando esto en la primera ecuación, obtenemos:

$x_{10} = 112- (x_1+x_2+\cdots+x_{5}) > 112- 85 = 27.$

Por lo tanto, Camila obtuvo al menos $28$ puntos en el décimo partido.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Abril 2017, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ROBERTO SORIN / SHUTTERSTOCK

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