Enunciado

La respuesta es $22$ números.

Las multiplicaciones entre dos dígitos que dan $8$ como resultado son $1\times 8$ y $2\times 4$. Entonces $18$, $81$, $24$ y $42$ son los primeros números que tienen como imagen a $8$.

Debemos ahora encontrar los números cuyos productos sucesivos de sus dos dígitos nos dan al final $18$, $81$, $24$ o $42$. Observemos que los números mayores que $81=9\times 9$ no pueden ser el producto de dos dígitos. Analicemos estos cuatro casos.

• Como $18=2\times 9=6\times 3$, entonces los números $29$, $92$, $36$ y $63$ tiene como imagen $8$ después de hacer el producto de sus dígitos dos veces.

$29$ es primo, entonces no hay números de dos dígitos cuyo producto sea $29$. En este caso diremos que el número $29$ es ’’último’’.

Como $92>81$, $92$ también es ’’último’’.

$36=9\times 4=6\times 6$, entonces los números $49$, $94$ y $66$ tienen $8$ como imagen. Además, $94$ es « último » pues $94>81$. $66$ también es ’’último’’ porque no puede ser el resultado de una multiplicación de dos dígitos. En efecto, su descomposición en factores primos es $6\times 11$.

$49$ se escribe como $49 = 7 \times 7 $ y $77$ es también ’’último’’. Finalmente, $63 = 7\times 9$ y entonces $79$ y $97$ tienen a $8$ como imagen, y además estos son ’’últimos’’ pues $79$ es primo y $97>81$.

• $81=9\times 9$, tenemos entonces a $99$ entre los números cuya imagen es $8$. Como $99>81$, este es ’’último’’.

• $24=3\times 8=4\times 6$, entonces $38$, $83$, $46$ y $64$ son números cuya imagen es $8$. Los números $38$, $83$ y $46$ no son el producto de dos cifras por lo que son ’’últimos’’. $64$ se escribe como $64=8\times 8$, entonces $88$ es parte de la solución y es « último » porque $88>81$.

• Finalmente, $42=6\times 7$ y tenemos entonces a $76$ y $67$ como parte de la solución, y además estos dos son ’’últimos’’.

En conclusión, hay $22$ números de dos dígitos cuya imagen es $8$, estos son $18$, $81$, $24$, $42$, $29$, $92$, $36$, $63$, $49$, $94$, $66$, $79$, $97$, $77$, $99$, $38$, $83$, $46$, $64$, $88$, $76$, $67$.