Un défi par semaine

Août 2018, 4e défi

Le 24 août 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (16)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 34

À Piedsrares, les hommes ont le pied gauche deux pointures plus grandes que le droit et les femmes une pointure plus grande. Cependant, on vend des paires de chaussures de la même pointure. Un groupe d’amis a acheté une collection de chaussures et il leur en est resté seulement deux : une de taille $21$ et une autre de taille $30$. Quel est le plus petit nombre de personnes dans le groupe ?

Solution du 3e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : ce n’est pas possible.

Supposons que oui, on peut faire une telle répartition en $11$
sous-ensembles. Alors pour chacun de ces $11$ sous-ensembles $\{a, b, c\}$, on obtient par exemple, que $a+b=c$. Ainsi $a+b+c=2c$,
donc la somme des trois entiers de chaque sous-ensemble est paire.
Par conséquent, la somme des nombres $1$, $2$, $\dots$, $33$ doit
être paire.

Pourtant
$1+2+\cdots+33=\frac{33\times 34}{2}=33 \cdot 17$ est un
nombre impair, ce qui est une contradiction. C’est pourquoi,
l’ensemble
\[\{1, 2, 3, \dots , 32, 33\}\]
ne peut pas être divisé
en 11 sous-ensembles avec les propriétés demandées.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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  • Août 2018, 4e défi

    le 24 août 2018 à 09:53, par Poss Jean-Louis

    Les pointures sont comprises entre 21 et 30. En effet si la chaussure de taille 30 est utilisée par un homme dont l’autre pied est plus grand, cet autre pied sera de taille 32. Il reste alors une chaussure de taille 32 qui sera utilisée avec une chaussure de taille 34 et il restera une chaussure de taille 34. La suite des tailles des chaussures restantes est strictement croissante, ce qui est impossible. Le raisonnement est le même si l’on chausse des femmes et aussi pour les tailles inférieures à 20.
    Pour obtenir le nombre de personnes minimum, le groupe doit contenir le plus d’hommes possible. L’homme qui a le pied gauche de pointure 30 aura le pied droit de pointure 28 ; l’homme qui a le pied gauche de pointure 28 aura le pied droit de pointure 26, l’homme qui a le pied gauche de pointure 26 aura le pied droit de pointure 24, l’homme qui a le pied gauche de pointure 24 aura le pied droit de pointure 22. Il reste une chaussure gauche de taille 22 qui sera utilisée par une femme dont le pied droit a pour pointure 21.
    La taille minimum du groupe est donc de cinq personnes (quatre hommes et une femme).
    Remarques :
    1) Parmi les deux chaussures qui restent celle de taille 21 est une chaussure gauche et celle de taille 30 est une chaussure droite.
    2) Le groupe peut comporter :
    — cinq personnes, quatre hommes et une femme ;
    — six personnes, trois hommes et trois femmes ;
    — sept personnes, deux hommes et cinq femmes ;
    — huit personnes, un homme et sept femmes ;
    — neuf femmes.
    Pour que le groupe comporte plus de personnes il faudrait ajouter deux paires de chaussures (au moins) dont les tailles diffèrent de une ou deux pointures. Mais il faudrait affecter ces chaussures à deux personnes, ce qui est impossible si le pied gauche est le plus grand.

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