Un défi par semaine

Août 2018, 4e défi

Le 24 août 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (16)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 34

À Piedsrares, les hommes ont le pied gauche deux pointures plus grandes que le droit et les femmes une pointure plus grande. Cependant, on vend des paires de chaussures de la même pointure. Un groupe d’amis a acheté une collection de chaussures et il leur en est resté seulement deux : une de taille $21$ et une autre de taille $30$. Quel est le plus petit nombre de personnes dans le groupe ?

Solution du 3e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : ce n’est pas possible.

Supposons que oui, on peut faire une telle répartition en $11$
sous-ensembles. Alors pour chacun de ces $11$ sous-ensembles $\{a, b, c\}$, on obtient par exemple, que $a+b=c$. Ainsi $a+b+c=2c$,
donc la somme des trois entiers de chaque sous-ensemble est paire.
Par conséquent, la somme des nombres $1$, $2$, $\dots$, $33$ doit
être paire.

Pourtant
$1+2+\cdots+33=\frac{33\times 34}{2}=33 \cdot 17$ est un
nombre impair, ce qui est une contradiction. C’est pourquoi,
l’ensemble
\[\{1, 2, 3, \dots , 32, 33\}\]
ne peut pas être divisé
en 11 sous-ensembles avec les propriétés demandées.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Août 2018, 4e défi

    le 25 août 2018 à 10:48, par Poss Jean-Louis

    Soient deux individus, femmes en l’occurence, chaussant (34,35). Il faudra disposer de deux paires de chaussures, une de taille 34, l’autre de taille 35. Or les pieds gauches des deux femmes auront une pointure de 35 et les pieds droits une pointure de 34. La plus rapide des deux femmes aura une chaussure de taille 35 au pied gauche et une chaussure de taille 34 au pied droit : elle sera à l’aise. Mais il restera à la seconde femme une chaussure droite de taille 35 – elle nagera un peu, mais pourra mettre de grosses chaussettes – et une chaussure gauche de taille 34 – si elle arrive à rentrer son pied dans la chaussure en forçant, elle attrapera des ampoules à coup sûr.

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