Commentaire sur l'article

• Août 2019, 5e défi

  le 30 août 2019 à 07:53, par Al_louarn

  Si $n$ s’écrit avec $k$ chiffres en base $10$ alors $2 \times 10^{k+1} + 10n + 1 = 33n$, d’où $2 \times 10^{k+1} + 1 = 23n$.
  $n$ est donc le plus petit entier de la forme $\dfrac{2 \times 10^{k+1} + 1}{23}$, avec $k \geq 1$.
  Pour $k = 1$ on trouve $\dfrac{201}{23}$ qui n’est pas entier.
  Pour $k = 2$ on trouve $n=\dfrac{2001}{23} = 87$
  Et l’on a bien $2871=33 \times 87$

  Répondre à ce message
• Août 2019, 5e défi

  le 30 août 2019 à 08:08, par Al_louarn

  Plus exactement, $n$ est le plus petit entier à $k$ chiffres en base $10$ de la forme $\dfrac{2 \times 10^{k+1} + 1}{23}$. Le nombre $87$ obtenu pour $k=2$ convient car il a bien $2$ chiffres.

  Répondre à ce message
• Août 2019, 5e défi

  le 30 août 2019 à 10:58, par ROUX

  C’est le seul en fait non ?

  Répondre à ce message
• Août 2019, 5e défi

  le 30 août 2019 à 18:25, par Al_louarn

  Non, voyez la solution générale donnée par François, mais les autres sont gigantesques. Le plus petit après $87$ est $869565217391304347826087$ ($24$ chiffres !).

  Répondre à ce message
• Août 2019, 5e défi

  le 30 août 2019 à 18:47, par ROUX

  Effectivement...

  Répondre à ce message

• Août 2019, 5e défi

  le 30 août 2019 à 11:53, par ROUX

  Et d’ailleurs à votre avis comment Ana a-t’elle « découvert » ce défi ?

  Répondre à ce message

• Août 2019, 5e défi

  le 30 août 2019 à 15:00, par François

  Quelques remarques :
  1°) $\frac {2.10 ^ {k+1}+1} {23} $ a exactement k chiffres en base 10.
  cela tient aux inégalités $2.10+1<23<100$ et $10^{k+1} < 2.10^{k+1} +1$.
  Donc $10^{k-1} < \frac {2.10^{k+1}+1} {23} < \frac {2.10^{k+1}+1} {2.10+1} < 10^{k} $
  2°) Structure des entiers du type $\frac {2.10 ^ {k+1}+1} {23} $.
  Pour k=2, $\frac {2.1000+1} {23} = 87 $. Soit $N$ un entier du type $\frac {2.10 ^ {k+1}+1} {23} $, $N-87= \frac {2000(10^{k-2}-1)} {23}$ est un entier. Comme 23 est premier, ne divisant pas 2000 on doit avoir $10^{k-2} \equiv 1 mod 23 $.Le groupe $(\mathbb{Z}/23\mathbb{Z},*)$ étant cyclique, $k = 2+22p$. Donc $N= 87 +2000\frac {10^{22p}-1} {23}$. En notant $K= 20 \frac {10^{22}-1} {23} = 8695652173913043478260$ (22 chiffres), on obtient $ N = 87+10^{2}K +10^{2+22}K +\cdots +10^{2+22(p-1)}K$.
  En base 10 ce nombre s’écrit $KK\cdots K87$ (K p fois).!!

  Répondre à ce message
• Août 2019, 5e défi

  le 30 août 2019 à 18:27, par Al_louarn

  Magnifique !

  Répondre à ce message

• Août 2019, 5e défi

  le 30 août 2019 à 18:46, par ROUX

  Ouah !
  Merci beaucoup !

  Répondre à ce message