Août 2014, 4ème défi

Le 22 août 2014 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 34 :

Est-il possible de diviser l’ensemble $\{1, 2, 3, \dots, 32, 33\}$ en $11$ sous-ensembles disjoints, qui contiennent trois éléments chacun dont l’un est égal à la somme des deux autres ?

Solution du 3ème défi de Août

Enoncé

La réponse est $18$ km/h.

Soient $P$ le point où se trouve le poteau, $A$ la projection perpendiculaire de $P$ sur le chemin où voyage Anne et $M$ la projection perpendiculaire de $P$ sur le sentier où roule Marc.

Donc, $AP = 3$ km et $PM = 9$ km. Or, quand Anne est sur $A$, Marc doit être sur le point $M$, puisque ils sont toujours alignés avec le poteau. Après une heure,
Anne se trouve au point $B$ sur la route tel que $AB=6$ km et Marc se trouve au point $C$ sur la voie parallèle. Pour savoir à quelle vitesse Marc circule, il suffit de savoir combien mesure $CM$. Observons que les triangles $APB$ et $MPC$ sont semblables, donc $\frac{PM}{AP}=\frac{CM}{AB}$, ce qui veut dire,

$CM= \frac{PM\times AB}{AP}=\frac{9\times 6}{3}= 18$ km.

Ainsi, après une heure, Marc a effectué $18$ km, ce qui implique que sa vitesse est
de $18$ km/h.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Août, 4ème défi

le 22 août 2014 à 09:14, par Bernard Hanquez

Bonjour,

Admettons que l’on puisse diviser l’ensemble (1,2,3,…,32,33) en 11 sous-ensembles répondant aux conditions énoncées.

L’un des éléments étant égal à la somme des deux autres, la somme des 3 éléments de chaque sous-ensemble est paire, donc la somme totale des éléments des 11 sous-ensembles est paire. Or ce total est égal à 1 + 2 + 3 + ... + 33 qui est impair.

Donc l’hypothèse de départ est fausse, il n’est donc pas possible de diviser l’ensemble (1,2,3,…,32,33) selon les conditions indiquées.
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