Un défi par semaine
Avril 2015, 2e défi
Le 10 avril 2015 Voir les commentaires (10)Lire l'article en
Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.
Semaine 15 :
Trouver le plus petit nombre premier $p>2$ tel que $p^3+7p^2$ soit un carré.
Solution du 1er défi d’Avril :
La réponse est $\frac{3}{4}$.
Soient $A,B$ et $C$ ces trois points et $O$ le centre du cercle. Sans perte de généralité, supposons que le point $A$ est à l’extrémité droite du cercle. Plaçons le point $B$ sur $A$ et déplaçons-le sur le cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre : pour chaque position du point $B$, il est alors possible de définir la zone où doit se trouver le point $C$ pour que les trois points appartiennent à un même demi-cercle.
Dans la suite, mesurons les angles dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et notons $x$ l’angle $\widehat{AOB.}$ Supposons que $x\le180^\circ$ et notons $A'$ et $B'$ les points diamétralement opposés à $A$ et $B$ respectivement. Il y a trois cas possibles pour le point $C$ :
- soit $\widehat{AOC}\le180^\circ$ et alors les points $A,B$ et $C$ appartiennent au demi-cercle supérieur d’extrémités $A$ et $A'$ ;
- soit $180^\circ+x\le\widehat{AOC}< 360^\circ$ et alors les points $A,B$ et $C$ appartiennent au demi-cercle contenant $C$ d’extrémités $B'$ et $B$ ;
- soit $180^\circ<\widehat{AOC}<180^\circ+x$ et alors $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}>180^\circ$. Comme $\widehat{COA}+\widehat{AOC}=360^\circ$, on a aussi $\widehat{COA}+\widehat{AOB}>180^\circ$. Les trois points $A,B$ et $C$ ne peuvent donc appartenir à un même demi-cercle.
Observons que lorsque le point $B$ est diamétralement opposé au point $A$, peu importe où se situe le point $C$, ces trois points appartiennent à un même demi-cercle.
Lorsque $x\ge180^\circ$ on montre de la même manière que si $0\le\widehat{AOC}\le x-180^\circ$ ou $180^\circ\le\widehat{AOC}\le360^\circ$, alors les trois points $A,B$ et $C$ sont sur un même demi-cercle.
Représentons cela sur un carré où la mesure de l’angle $\widehat{AOB}$ est placée horizontalement et celle de l’angle $\widehat{AOC}$ est placée verticalement. La partie coloriée représente les valeurs des angles pour lesquelles les trois points appartiennent à un même demi-cercle.
Par conséquent, la probabilité que les trois points soient sur un même demi-cercle est égale à la proportion de la partie coloriée dans le carré, c’est-à-dire $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.
Partager cet article
Pour citer cet article :
Ana Rechtman — «Avril 2015, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015
Laisser un commentaire
Articles suggérés
Si vous avez aimé cet article, voici quelques suggestions automatiques qui pourraient vous intéresser :
-
le 6 juillet 2018De combien de manières différentes peut-on placer les chiffres 1, 2, 4, 7 et 9 pour former un nombre de cinq chiffres qui soit multiple de 11 ?lire l'article -
le 3 avril 2015Pour la deuxième année, chaque semaine, un défi du calendrier mathématique...lire l'article -
Actualités des maths
-
14 février 2020Bob Hummer, le mathémagicien fou (Paris, 20/02)
-
24 janvier 2020Maths & mesure – mesurer le monde (Poitiers, 2020)
-
23 janvier 2020Les nouvelles formes d’argent décentralisé : le Bitcoin et les cryptomonnaies (Montpellier, 29/1)
-
22 janvier 2020Topologie en sous-sol (Paris, 28/1)
-
13 janvier 2020Des tas de sable aux pixels, deux siècles et demi de transport optimal depuis Monge (Paris, 15/1, reportée !)
-
10 janvier 2020Rencontre avec Alecos Papadacos, auteur de Logicomix (Lyon, 16/1)
Commentaire sur l'article
Avril 2015, 2ème défi
le 10 avril 2015 à 08:25, par André Perrenoud
Avril 2015, 2ème défi
le 10 avril 2015 à 17:31, par ROUX
Avril 2015, 2ème défi
le 10 avril 2015 à 18:04, par gedspilett
Avril 2015, 2ème défi
le 10 avril 2015 à 18:08, par ROUX
Avril 2015, 2ème défi
le 11 avril 2015 à 12:23, par ROUX
Avril 2015, 2ème défi
le 27 avril 2015 à 17:58, par Bobo
Avril 2015, 2ème défi
le 27 avril 2015 à 18:16, par André Perrenoud
Avril 2015, 2ème défi
le 28 avril 2015 à 09:32, par Bobo
Avril 2015, 2ème défi
le 28 avril 2015 à 10:24, par André Perrenoud
Avril 2015, 2ème défi
le 28 avril 2015 à 12:08, par Bobo