Un défi par semaine

Avril 2015, 2e défi

Le 10 avril 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 15 :

Trouver le plus petit nombre premier $p>2$ tel que $p^3+7p^2$ soit un carré.

Solution du 1er défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $\frac{3}{4}$.

Soient $A,B$ et $C$ ces trois points et $O$ le centre du cercle. Sans perte de généralité, supposons que le point $A$ est à l’extrémité droite du cercle. Plaçons le point $B$ sur $A$ et déplaçons-le sur le cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre : pour chaque position du point $B$, il est alors possible de définir la zone où doit se trouver le point $C$ pour que les trois points appartiennent à un même demi-cercle.

JPEG - 25.4 ko

Dans la suite, mesurons les angles dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et notons $x$ l’angle $\widehat{AOB.}$ Supposons que $x\le180^\circ$ et notons $A'$ et $B'$ les points diamétralement opposés à $A$ et $B$ respectivement. Il y a trois cas possibles pour le point $C$ :

  • soit $\widehat{AOC}\le180^\circ$ et alors les points $A,B$ et $C$ appartiennent au demi-cercle supérieur d’extrémités $A$ et $A'$ ;
  • soit $180^\circ+x\le\widehat{AOC}< 360^\circ$ et alors les points $A,B$ et $C$ appartiennent au demi-cercle contenant $C$ d’extrémités $B'$ et $B$ ;
  • soit $180^\circ<\widehat{AOC}<180^\circ+x$ et alors $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}>180^\circ$. Comme $\widehat{COA}+\widehat{AOC}=360^\circ$, on a aussi $\widehat{COA}+\widehat{AOB}>180^\circ$. Les trois points $A,B$ et $C$ ne peuvent donc appartenir à un même demi-cercle.

Observons que lorsque le point $B$ est diamétralement opposé au point $A$, peu importe où se situe le point $C$, ces trois points appartiennent à un même demi-cercle.

Lorsque $x\ge180^\circ$ on montre de la même manière que si $0\le\widehat{AOC}\le x-180^\circ$ ou $180^\circ\le\widehat{AOC}\le360^\circ$, alors les trois points $A,B$ et $C$ sont sur un même demi-cercle.

Représentons cela sur un carré où la mesure de l’angle $\widehat{AOB}$ est placée horizontalement et celle de l’angle $\widehat{AOC}$ est placée verticalement. La partie coloriée représente les valeurs des angles pour lesquelles les trois points appartiennent à un même demi-cercle.

JPEG - 27.8 ko

Par conséquent, la probabilité que les trois points soient sur un même demi-cercle est égale à la proportion de la partie coloriée dans le carré, c’est-à-dire $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2015, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Daniela Kunze / Flora Press / BIOSPHOTO

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Avril 2015, 2ème défi

    le 28 avril 2015 à 09:32, par Bobo

    Merci,

    Sauf erreur de ma part, ceci montre que si (p+7) est un carré, alors N est un carré.

    Mais ne faut-il pas montrer dans notre cas que si N est un carré, alors (p+7) est un carré ?

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?