Mon université (il s’agit de Grenoble I) publie de temps en temps en interne quelques résultats issus de ses laboratoires de recherche et mes chefs m’ont demandé de rédiger un petit texte vulgarisant un résultat récent.
J’ai donc essayé de décrire de manière simple le contenu de [B] et j’ai recyclé cet essai en le soumettant à « Images des Mathématiques ». Les éditeurs d’IdM m’ont alors suggéré d’y incorporer des éléments de la genèse du résultat exposé pour illustrer par un exemple concret un travail de recherche en mathématique. Le résultat final est actuellement devant vos yeux.
Il n’a pour le moment pas d’application pratique autre que celle suggérée par
le titre car il montre comment disposer des doses de poison permettant de
se débarrasser de tous les rats occupant une surface assez grande en
supposant qu’un rat a approximativement la forme d’un triangle isocèle dont
on ne contrôle pas l’allongement et que le poison n’agit que par contact direct.

Genèse d’un article de maths

Il y a un peu moins d’une année, je me suis inscrit à un petit colloque de trois jours à Paris. Il s’agissait plus précisément d’une
conférence en l’honneur des 60 ans de Philippe Flajolet.

Quelques jours avant le congrès, j’apprends qu’un de mes collègues grenoblois, Didier Piau, participe également à ce colloque. Le jour du départ, vers six heures du matin, je réfléchis dans le tram qui me mène à la gare à un problème qui
pourrait alimenter la conversation avec Didier dans le TGV. L’idée me vient alors à l’esprit de l’interroger sur ce que l’on sait sur « les convexes qui ne rencontrent pas un ensemble aléatoire de points ».

Finalement, je n’étais pas assis dans le même wagon que Didier ! Nous ne nous sommes retrouvés que sur le quai de la gare de Lyon. J’avais cependant passé les trois heures du voyage Grenoble-Paris à réfléchir au problème que je trouvais amusant.

Petit à petit quelque chose comme la question 1 ci-dessous s’est cristallisée et j’ai essayé sans succès de construire un ensemble de points de densité uniforme qui rencontre tous les convexes du plan d’aire assez grande.

J’ai commencé à poser la question de l’existence d’un tel ensemble à un certain nombre de collègues sans obtenir de réponse. Ainsi, un jour où la porte du bureau voisin était ouverte, je pose ma question à Yves Colin de Verdière qui me suggère de commencer par chercher un ensemble un peu plus « gros ». Quelques jours plus tard, j’avais trouvé ma solution.

Il y a bien sûr eu quelques tâtonnements et fausses pistes mais en nombre assez petit. Tout le travail, y compris la rédaction, a pris environ un mois, ce qui est une durée inhabituelle pour un travail de recherche [2]. Normalement
il faut plusieurs mois ou même plusieurs années avant d’aboutir (il existe bien sûr quelques extraterrestres, comme par exemple Terence Tao, qui font exception).

Il m’est cependant pratiquement impossible d’estimer, même très approximativement, le nombre d’heures que j’ai passées sur ce problème. Il n’est pas nécessaire d’être assis à son bureau avec du papier et un crayon pour réfléchir. Personnellement, je trouve souvent utile d’aller me promener (de préférence en forêt) [3]
quand je veux approfondir une question. La seule indication que je travaille est alors le fait que je reconnais encore moins que d’habitude une connaissance éventuelle rencontrée par hasard.

De plus, une composante importante du travail de recherche est une espèce de rêverie durant laquelle on fait des raisonnements du style « et si on avait ... alors » ou « ce serait joli si on avait ... ». Ce genre de pensées spéculatives pas forcément très rigoureuses et parfois fondées sur des critères esthétiques permet de se forger une intuition du problème et indique des voies prometteuses pour l’attaquer. En effet, il n’est pas nécessaire d’avoir un esprit logique sans faille pour faire des maths mais il faut peut-être plutôt de l’imagination et la capacité d’acquérir une sorte d’intuition concernant les objets abstraits qu’on manipule.

La démonstration d’une assertion par des enchaînements logiques n’est que le produit final du travail. On peut peut-être comparer un texte mathématique à une partition de musique. Ce qui compte, ce ne sont pas les notes écrites sur la partition mais le morceau de musique qui est derrière. Il faut un long et fastidieux apprentissage pour pouvoir entendre dans sa tête un morceau de musique à partir de la lecture d’une partition (surtout si on n’a encore jamais écouté le morceau en question). Heureusement qu’il y a les lecteurs de CD ! Pour les maths, l’équivalent du lecteur de CD fait cruellement défaut et il faut également un long apprentissage pour « entendre des maths dans la tête » à partir d’une « partition mathématique » dont les clés, les portées et les notes, sont des définitions, propositions et preuves.

Je termine ici cette petite digression et je reviens à mes moutons ou plutôt
à mon article. Je l’ai déposé sur arXiv (un serveur de prépublications) après une péripétie amusante : arXiv l’a d’abord automatiquement refusée car ma prépublication ne contenait aucune référence bibliographique ! [4] Il semble qu’arXiv effectue une sorte de contrôle de qualité automatisé pour lequel l’absence de données bibliographiques est éliminatoire. J’ai donc refait un passage sur MathScinet pour créer une liste bibliographique mentionnant deux articles traitant des problèmes voisins.

Une fois l’article déposé, je l’ai signalé à quelques collègues ainsi qu’à deux spécialistes des ensembles convexes pour un éventuel retour. Les réactions à des prépubs (en tout cas aux miennes) sont relativement rares, à part un « ça a l’air marrant » poli des copains. Ceci est d’ailleurs plutôt positif, car les gens ne se privent généralement pas d’écrire « tu devrais lire le papier de Yangtse et Bilboquet écrit en ourdou et paru en 1908 dans le Journal mathématique du Kamtchatka » pour signaler à l’auteur que ses résultats sont connus depuis les temps bibliques mais qu’il fait par contre fort mal son travail en ignorant tout de l’article sublime de Yangtse et Bilboquet.

La prochaine étape est le choix d’un journal (il en existe plusieurs centaines). Comme mon résultat principal était assez facile mais un peu surprenant (mon mérite étant principalement d’avoir été par chance la première personne à s’intéresser à ce genre de question) j’ai opté pour une revue généraliste de bon niveau. Comme je voulais de plus éviter les éditeurs commerciaux pratiquant des tarifs d’usuriers [5], le choix s’est encore restreint et
j’ai finalement soumis mon manuscrit au triptyque « Proceedings, Journal and Bulletin of the London Mathematical Society » (le choix du journal appartient aux rédacteurs, essentiellement selon la longueur de l’article) édité par une société savante.

Après quelques mois d’attente (fébrile et beaucoup trop longue quand on soumet son premier article ; ensuite on devient plus stoïque, surtout après avoir été sollicité quelque fois comme rapporteur (on dit aussi referee)) on apprend la décision des rédacteurs : acceptation (peut-être après modifications) ou refus de l’article, parfois brièvement argumenté par un éditeur et généralement pimenté par l’avis et les commentaires du rapporteur anonyme.

C’est donc soit un moment de fête, soit le début d’une réécriture avec recherche d’un autre journal en cas de refus modéré, soit la cheminée (par exemple après mention par le rapporteur de l’existence de ces plagiaires munis d’une machine à voyager dans le temps que sont Yangtse et Bilboquet).

L’acceptation ou le refus n’est pas forcément une indication fiable de qualité : Le système de l’édition scientifique est humain et commet des erreurs :
Le choix du rapporteur, les préférences des éditeurs, la pression (nombre d’articles soumis et nombres d’articles acceptés en attente de publication) sont des impondérables sur lesquels l’auteur n’a pas de prise.

Cette fois-ci, j’ai eu de la chance : assez vite, j’ai reçu une

des rédacteurs du « Bulletin de la LMS » qui contenait aussi
les

J’ai donc effectué les dernières petites retouches et je l’ai fait relire partiellement par une collègue anglophone avant d’envoyer la version définitive destinée à l’imprimeur. Récemment, j’ai reçu les épreuves pour une dernière relecture. La parution de l’article ne devrait maintenant plus trop tarder. Après il vivra sa propre vie, sera indexé par MathScinet et Zentralblatt et aura, j’espère, quelques lecteurs intéressés qui pousseront peut-être le travail plus loin.

Description de l’article

Une assertion évidente est généralement affublée de l’épithète « triviale » par
les mathématiciens. Un bon exemple est la phrase suivante :

Tout intervalle (de la droite réelle) de longueur plus grande que $1$ contient un nombre entier.

Je dirai que le contenu de mon article est la généralisation de cette trivialité
aux dimensions supérieures [6].
Pour simplifier, je me limite dans la suite au cas
de la dimension $2$. Le cas général n’est cependant guère plus
difficile, voir [B] pour les détails.

Le début de la généralisation consiste à trouver l’équivalent en dimension $2$ d’un intervalle et d’une longueur.
Un intervalle [7] peut se définir comme un ensemble de points délimité par deux extrémités. Ceci suggère
de remplacer « intervalle » par « triangle » car un triangle est délimité par trois points du plan : ses sommets.
Le rôle de la longueur
est bien sûr joué par l’aire du triangle.

Je travaillerai dorénavant avec des triangles du plan
 [8]

La question qui se pose est la suivante :

Quelle est la taille minimale d’un ensemble $\mathcal S$
(généralisant l’ensemble $\mathbb Z$ des entiers dans le cas de la dimension $1$) du plan
tel que le complémentaire de $\mathcal S$ ne contienne aucun triangle d’aire $>C$ pour une certaine constante $C$ strictement positive ?

En faisant une homothétie de rapport
$1/\sqrt{C}$, on peut se ramener au cas $C=1$. Dans la suite, on ne prêtera
aucune attention à la valeur exacte de la constante $C$, seule son
existence est importante.

Il faut bien sûr clarifier la question ci-dessus en précisant
ce qu’on entend par « taille minimale ». La bonne définition
s’obtient de nouveau en s’inspirant du cas unidimensionnel.
Pour un nombre réel positif $R$ fixé, l’ensemble des réels contient environ $2R$ entiers à distance au plus
$R$ de l’origine : voici une autre trivialité !
On voudrait donc travailler avec un ensemble $\mathcal S$
tel que
$\mathcal S$ ne contienne pas trop de points à distance $\leq R$
de l’origine pour tout
nombre réel $R$ assez grand. Autrement dit,
je m’intéresse à la croissance quand $R$ tend vers l’infini du
nombre de points communs à $\mathcal S$
et au disque (fermé) de rayon $R$ et centré à l’origine.

Rappelons que nous cherchons un ensemble $\mathcal S$ qui rencontre
tout triangle d’aire assez grande.

Le cas de la dimension $2$ du résultat principal de [B]
s’énonce alors comme suit :

Comme le logarithme est une fonction à croissance très lente,
ce résultat montre que le nombre de points de $\mathcal S$
dans un grand disque est « presque » proportionnel l’aire du disque.

Ce théorème est bien une généralisation de la trivialité
de départ :

Tout triangle d’aire assez grande contient un point
de l’ensemble $\mathcal S$ et l’ensemble $\mathcal S$ est en
quelque sorte « petit ».

L’énoncé du théorème est cependant bien moins intuitif
que son analogue en dimension $1$.
En particulier, l’ensemble $\mathbb Z^2$ des
points à coordonnées entières ne fournit pas un ensemble $\mathcal S$
convenable. En effet, le triangle de sommets $(-A,1/4),(0,3/4),(A,1/4)$
ne contient aucun point de $\mathbb Z^2$ et son aire
$\vert A\vert/2$ peut être rendue aussi grande qu’on veut par un
choix convenable du nombre réel $A$.

La preuve du théorème

Il s’agit d’une preuve constructive dans le sens qu’elle ne se limite pas à démontrer l’existence d’un tel ensemble $\mathcal S$ mais
qu’elle décrit la construction d’un ensemble $\mathcal S$ avec les propriétés requises.

Plus précisément, l’ensemble $\mathcal S$ est la réunion des points
de $\mathbb Z^2$ ayant deux coordonnées entières et de
tous les points rationnels $(a,b)$ qui vérifient la
condition suivante :

Le produit $ab$ est un entier non nul, et
les dénominateurs de $a$ et de $b$ sont des puissances de $2$.
(Autrement dit, les deux coordonnées $a,b$ sont non nulles et une des deux
coordonnées est un entier divisible par une puissance de deux qui est le dénominateur
de l’autre coordonnée. )

Le point $(\frac{7}{4},-8)$ par exemple appartient à
$\mathcal C$ mais pas les points $(\frac{7}{8},-4)$, $(\frac{3}{2}, \frac{5}{4})$ ou encore $(\frac{2}{3},6)$.

La présence possible de puissances de $2$ aux dénominateurs
est responsable du
facteur logarithmique dans le théorème. L’absence de triangles
d’aire grande dans le complémentaire de $\mathcal S$ est dûe au
fait qu’un triangle est soit assez « gros »
(c’est-à-dire le rayon de son cercle inscrit n’est pas beaucoup
plus petit que le rayon de son cercle circonscrit), soit fin mais
très long.

Un gros triangle d’aire assez grande contiendra un point
de $\mathcal S$ car $\mathcal S$ contient l’ensemble $\mathbb Z^2$
des points à coordonnées entières
tandis qu’un triangle fin mais très long contiendra un point
dont soit l’abscisse soit l’ordonnée est divisible par
une grande puissance de
$2$. Au voisinage d’un tel point,
un triangle ne rencontrant pas $\mathcal S$ doit
passer par un « chas d’aiguille » (les petites ouvertures
entre deux points très proches de la Figure 1) délimité
à un signe près par deux points de la forme
$(\frac{2m-1}{2^n},2^n(2k+1)),(\frac{2m+1}{2^n},2^n(2k+1))$ ou
$(2^n(2k+1),\frac{2m-1}{2^n}),(2^n(2k+1),\frac{2m+1}{2^n})$.
Ceci permet de borner son aire.

Cet argument résume bien la preuve
mais il est un peu trop simple pour être juste.
Il faut en effet encore s’assurer que le chas d’aiguille utilisé
ne se trouve pas trop près d’un sommet d’angle aigu
du triangle. Ceci complique un peu la preuve et
illustre bien un fait qu’on rencontre souvent en mathématique :
Un argument simple et
intuitivement plausible n’est souvent pas complètement
rigoureux. Il peut cependant parfois servir comme point de
départ d’une preuve.
Les rustines nécessaires pour réparer les trous
amènent des complications techniques et nécessitent des
détours qui ne paraissent pas naturels.
Ceci est une des raisons pour lesquelles la lecture de textes
mathématiques est parfois difficile.

La preuve que $\mathcal S$ remplit également la condition (ii) n’est
guère plus difficile.

Deux questions ouvertes pour finir

Je voudrais terminer ce texte par deux questions, motivées
par la présence du facteur logarithmique dans l’énoncé
du théorème.

Question 1 Soit $\mathcal S$ un ensemble du plan euclidien
tel que $\mathcal S$ contienne au plus $R^2+1$ points de norme
$\leq R$ pour tout nombre réel $R\geq 0$. Est-ce que
le complémentaire de $\mathcal S$ contient nécessairement des
triangles d’aire arbitrairement grande ?

Si la réponse à cette question est OUI, il n’y a pas d’espoir de
se débarrasser d’un facteur additionnel sous la forme d’une fonction non-bornée
à croissance très lente [9] multipliant le facteur $R^2$
dans l’énoncé du théorème.

Si la réponse est NON, il existe des ensembles bien plus petits
que l’ensemble $\mathcal S$ proposé. Il serait alors intéressant
d’en exhiber un.

La deuxième question nécessite une définition : Appelons
un sous-ensemble $\mathcal S$ du plan euclidien uniformément
discret s’il existe un $\epsilon>0$ tel que deux points distincts
de $\mathcal S$ soient toujours à distance au moins $\epsilon$
l’un de l’autre.
Comme des disques de rayon $\epsilon/2$ centrés en les
points d’un tel ensemble ne se chevauchent pas,
le nombre de points d’un ensemble uniformément discret contenus
dans un disque assez grand est au plus proportionnel à l’aire
de ce disque.

Question 2 Est-ce que le complémentaire d’un ensemble uniformément
discret contient nécessairement des triangles d’aire arbitrairement
grande ?

La question 2 fait intervenir une restriction supplémentaire
concernant l’ensemble $\mathcal S$.
Si la réponse à
la première question est OUI, elle est donc également OUI à la deuxième
question.
Par contre, la deuxième question garde son intérêt si la réponse
à la première question est NON (ou si cette réponse n’est pas connue).

Référence

[B] R. Bacher, Universal convex coverings, prépublication 0810.2371
sur arXiv, à paraître dans
Bull. London Math. Soc.