Commentaire sur l'article

• Décembre 2015, 4e défi

  le 25 décembre 2015 à 08:40, par orion8

  On a : $x^4 = 25 \times 3x$
  d’où : $x^3 = 75$.

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• Décembre 2015, 4e défi

  le 25 décembre 2015 à 12:14, par mesmaker

  Bonjour et joyeux noël.

  La réponse au cadeau mathématique est 75.
  Il suffit de réécrire la valeur de x de cette façon :
  x = sqrt(5*sqrt(3*x)) puis de mettre à la puissance 4.
  Ce qui donne x^4 = 5^2*3*x. Comme x est strictement positif,
  on peut donc simplifier par x et cela donne x^3 = 75.
  Donc x = 75^(1/3).

  De manière générale, les expressions de la formes x = sqrt(a*sqrt(b*x)) avec a et b strictement positifs donnent des x = (a^2*b)^(1/3). C’est une manière de calculer certaines
  puissances cubiques telles que 2^(1/3) = sqrt(1*sqrt(2*...))

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• Décembre 2015, 4e défi

  le 25 décembre 2015 à 12:30, par mesmaker

  Réécrit de manière plus lisible

  
  
  

  La réponse au cadeau mathématique est 75.
  Il suffit de réécrire la valeur de x de cette façon :
  $x = \sqrt{5\sqrt{3x}}$ puis de mettre à la puissance 4.
  Ce qui donne $x^4$ = $5^2.3.x$. Comme x est strictement positif,
  on peut donc simplifier par x et cela donne $x^3 = 75$.
  Donc x = $75^{1/3}$.

  De manière générale, les expressions de la formes $x = \sqrt{a\sqrt{bx}}$ avec a et b strictement positifs donnent des $x = (a^2b)^{1/3}$. C’est une manière de calculer certaines
  puissances cubiques telles que $2^{1/3} = \sqrt{1\sqrt{2\sqrt{1\sqrt{2...}}}}$

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• Décembre 2015, 4e défi

  le 27 décembre 2015 à 16:49, par Jérôme

  Je n’ai pas pensé à formuler $x$ en fonction de $x$ comme l’a fait mesmaker, ce qui solutionne rapidement le problème.
  Pour ma part, je suis parti sur le fait que $x^3 = x \times x^2$, donc
  $x^3 = \sqrt{5 \sqrt{3 \sqrt{5 \sqrt{ 3 \cdots}}}} \times 5 \sqrt{3 \sqrt{5 \sqrt{ 3 \cdots}}} = 5 \sqrt{15 \sqrt{15 \sqrt{15 \sqrt{15 \cdots}}}}$.
  En utilisant les puissances plutôt que les racines, cela donne
  $x^3 = 5 \times 15^{\frac{1}{2}} \times 15^{\frac{1}{4}} \times 15^{\frac{1}{8}} \times 15^{\frac{1}{16}} \times \cdots = 5 \times 15^{(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots)}$.
  En sachant que $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots = 1$, on a alors
  $x^3 = 5 \times 15^{1} = 5 \times 15 = 75$.

  Bonnes fêtes.

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• Décembre 2015, 4e défi

  le 31 décembre 2015 à 15:38, par gambitro

  Votre solution est très jolie. Bravo...

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• Décembre 2015, 4e défi

  le 31 décembre 2015 à 12:25, par ROUX

  Je l’avais fait comme orion8 ou mesmaker.
  Je préfère celle de Jérôme.
  En fait, depuis ma lecture d’une étonnante (et irritante ;) ?) démonstration du fait que 1+2+3+4+5+troispetitspoints=-1/12, j’ai peur quand je dois gérer des troispetitspoints.
  Et, les troispetitspoints de Jérôme me font moins peur que ceux de orion8 et mesmaker car ils ne donnent lieu à aucun jeu d’écriture.
  Pourrait-on un jour avoir un article sur la gestion des troispetitspoints dans les sommes ?

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• Décembre 2015, 4e défi

  le 2 janvier 2016 à 07:50, par orion8

  Bonjour. « Peur » très légitime... Il suffit de s’assurer auparavant qu’il y a convergence.
  Pour la méthode de Jérôme, c’est évident, compte-tenu des propriétés des suites géométriques réelles ayant une raison $q$ telle $|~q~| < 1$.
  Pour l’autre méthode, définir la suite $(u_n)$ telle que $u_{n+1} = \sqrt{5\sqrt{3u_n}}$ avec $u_0 = 1$.
  On montre par une récurrence facile que la suite réelle $(u_n)$ est croissante et majorée (par 5, par exemple).
  D’où sa convergence. Sa limite est solution de $x= \sqrt{5\sqrt{3x}}$ (théorème dit du point fixe), d’où la valeur de $x$.

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