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Un défi par semaine

Décembre 2016, 3e défi

Le 16 décembre 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 51 :

Paula écrit la suite de nombres suivante : $1$, $3$, $6$, $10$, $15$, $21$, $28$, $36, \ldots$. Si le dernier nombre qu’elle écrit possède trois chiffres égaux, combien de nombres a-t-elle écrits ?

Solution du 2e défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est $10$ billes bleues.

Appelons respectivement $x$, $y$ et $z$ les nombres de billes blanches, bleues et vertes contenues dans le sac. Nous savons que $x+y+z=30$. En tirant au hasard $25$ billes, Louis est sûr d’avoir sorti au moins $5$ billes bleues ; nous avons donc $25 -(x+z)\geq 5$.

De la première équation nous tirons $x=30 -(y+z)$ et en substituant $x$ dans l’inéquation, nous obtenons :

$25-(30-y-z+z) \geq 5$

$y \geq 10.$

Comme en tirant au hasard 25 billes, Louis est sûr d’avoir sorti 3 blanches, nous avons $25-(y+z)\geq 3$, d’où $22\geq y+z=30-x$ et donc $x\geq 8$. De même, nous obtenons $25-(x+y)\geq 7$, d’où $x+y\leq 8$. Comme $x\leq 8$, nous obtenons $y\leq 18-x\leq 10$. Ainsi, dans le sac de Louis il a $10$ billes bleues.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Décembre 2016, 3e défi

le 16 décembre 2016 à 09:01, par gedspilett

Bonjour
Elle devra écrire 36 nombres. Le nombre de rang n a pour valeur : (n)(n+1)/2
Pour n=36 on a 36x37/2=666
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Décembre 2016, 3e défi

le 16 décembre 2016 à 15:48, par aunryz

[Autant préciser tout de même]
SI Paula écrit la suite qui correspond à la somme des nombres de 1 à n.
—
—
[et non pas par exemple la suite A130487 de l’encyclopédie de Sloane]
Alors,
—
Toute personne qui s’intéresse au nombre de la bête (de l’apocalypse)
sait qu’il correspond à la somme des nombres de 1 à 36 (trois 6)
et qu’il fait lui-même 666 (trois six)
qu’on obtient par la formule (n+1)*n/2 soit ici 37*36/2 (= (6 x 6) * (6 + 6) + (6 + 6) (sourire)² )
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Décembre 2016, 3e défi

le 16 décembre 2016 à 11:34, par ROUX

J’ose tenter de faire sourire Daniate (je ne crains pas d’être foudroyé si il ne sourit pas ;)) et j’indique alors préférer la formulation : « Si le dernier nombre qu’elle écrit est le premier nombre à posséder trois chiffres identiques etc. ».
Au moins, j’aurai tenté quelque chose pour discuter au moins une fois de l’unicité de la solution :) !!!
Alors, clairement, le nombre de rang n est égal à n(n+1)/2.
Le premier nombre à avoir trois chiffres identiques est de la forme aaa et vaut donc 100a+10a+a=111a.
n(n+1)=222a avec a variant de 1 à 9.
Je peux développer n(n+1), poser l’équation du second degré et chercher la plus petite valeur de a pour laquelle le discriminant est un carré, et, zou.
Mais sans doute pas élégant...
Alors : 222=2*3*37 donc 222a=2*3*a*37 donc a=6 me garantit que je viens d’écrire 36*37 donc n=36.
et 37 est bel et bien le (n+1).
Elle a donc écrit 36 nombres.
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Décembre 2016, 3e défi

le 16 décembre 2016 à 15:23, par Daniate

Bonjour,

N’étant pas Zeus, je ne foudroie personne, d’autant plus qu’ici l’unicité ne pose pas de question . Un autre problème survient, n’ayant aucune raison de préjuger de la construction de la suite je décide que Paula est en train d’écrire les racines, dans l’ordre croissant, du polynôme

x^9-231x^8+19074x^7-780670x^6+17695425x^5-229487751x^4+1675822716x^3-6454682964x²+11335464000 x-6344049600

Elle a donc écrit 9 nombres dont le dernier est 111
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Décembre 2016, 3e défi

le 16 décembre 2016 à 18:26, par ROUX

Excellent !!!
Délicieux contre-pied !!!
Si heureux, et encore une fois est coutume, de vous lire !) !!!
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Décembre 2016, 3e défi

le 16 décembre 2016 à 16:43, par Yann

Très belle image, on dirait vraiment les perles d’Indra !
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Ana Rechtman

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Décembre 2016, 3e défi

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