Décembre 2018, 2e défi

Le 14 décembre 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 50

Sur une table sont posés $15$ bâtonnets en bois de
$1,2,3,\ldots,15\,cm$ de longueur.

Si on en prend trois au hasard, quelle est la probabilité que l’on puisse former un triangle rectangle avec ces trois bâtonnets ?

Solution du 1er défi de décembre :

Enoncé

La solution est : $7$.

Si $d$ divise $n^2+4$ et $n+3$, alors $d$ est aussi un diviseur de $n^2+4-(n+3)(n-3)=13$.

Donc, si $n^2+4$ et $n+3$ ont un diviseur commun plus grand que $1$, ce dernier doit être $13$.

Observons que $n+3$ est divisible par $13$ si et seulement si $n=13k+10$, pour un certain entier $k$ (puisque $n+3=13j$ si et seulement si $n=13j-3=13j-13+10=13(j+1)+10$).

Donc
\[n^2+4=(13k+10)^2+4=169k^2+260k+104=13(13k^2+20k+8)\]
est aussi divisible par $13$.

Finalement $13k+10$ est un entier entre $1$ et $100$ si et seulement si $0\leq k\leq 6$.

Par conséquent, il y a $7$ entiers qui satisfont la condition.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Décembre 2018, 2e défi

le 14 décembre 2018 à 15:23, par ROUX

A partir de 1, les unités des carrés des entiers sont périodiquement 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0, etc.
Je nomme un carré d’entier dont l’unité est n un ncarré .
Les 1carrés sont obtenus par 0carré + 1carré ou par 5carré + 6carré.
Il n’y a que deux 1carrés et ils ne sont pas constructibles par une somme de deux ncarrés.
Les 4carrés sont obtenus par 0carré + 4carré ou par 5carré + 9carré.
Il n’y a que trois 4carrés et ils ne sont pas constructibles par une somme de deux ncarrés.
Les 9carrés sont obtenus par 0carré + 9carré ou par 5carré + 4carré.
Il n’y a que trois 9carrés et un seul est constructible par une somme de deux ncarrés : 169 = 144 + 25.
Les 6carrés sont obtenus par 0carré + 6carré ou par 1carré + 5carré.
Il n’y a que trois 6carrés et ils ne sont pas constructibles par une somme de deux ncarrés.
Les 5carrés sont obtenus par 0carré + 5carré ou par 9carré + 6carré ou par 1carré + 4carré.
Il n’y a que deux 5carrés et ils sont constructibles par une somme de deux ncarrés : 25 = 16 + 9 et 225 = 144 + 81.
Les 0 carrés sont obtenus par 0carré + 0carré ou par 5carré + 5carré ou par 1carré + 9carré ou par 4carré + 6carré
Il n’y a que un 0carrés et il est constructible par une somme de deux ncarrés : 100 = 64 + 36.
Il y a donc 4 triplets de bâtons.
Je prends un baton puis un baton puis un baton : j’ai donc 15*14*13 = 2730 possibilités mais, en faisant ainsi, j’ai compté par exemple 1 puis 3 puis 8 et 3 puis 1 puis 8 comme étant deux triplets différents. Or, vis à vis des triangles, c’est le même.
Il y a à chaque fois 6 possibilités de prendre successivement trois mêmes entiers, par exemple : 138, 183, 318, 381, 831 et 813.
Il n’y a donc que 2730/6 = 455 triplets.
La probabilité est 4/455 ou (0,879 + ou - 0,001)%.
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