Décembre 2014, 4ème défi

Le 26 décembre 2014 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 52 :

Soient $h$, $m$, $t$ et $u$ des nombres entiers tels que $h+u=m+t$. Le nombre $1000 m+100 h+10t+u$ est-il divisible par $11$ ?

Solution du 3ème défi de Décembre

Enoncé

La réponse est $\frac{C}{L}=\frac{3}{4}$.

Le nombre total de cases sur le plateau de jeu est $L \times C$. On va compter de deux façons combien de cases occupent les $P$ pièces. D’abord, quand Jean place ses pièces, il laisse 8 lignes vides, soit $8C$ cases vides. De plus, dans chacune des autres $(L-8)$ lignes, il laisse 9 cases vides, soit $9(L-8)$ cases.
Ainsi, le nombre total de cases que Jean occupe avec ses pièces est

$P=L \times C - 8C - 9(L-8).$

Par analogie, le total de cases que Louis occupe avec ses pièces est $P=L \times C -12C-6(L-12)$. Comme les deux joueurs ont le même nombre de pièces, on obtient

$L \times C - 8C - 9(L-8) = L \times C -12C-6(L-12)$

$-8C-9L = -12C-6L$

$4C = 3L.$

Par conséquent on a $\frac{C}{L}=\frac{3}{4}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Décembre, 4ème défi

le 26 décembre 2014 à 09:09, par Bernard Hanquez

Posons a = h+u = m+t et S = 1000m+100h+10t+u

Alors t = a-m et u = a-h

Donc S = 1000m + 100h + 10(a-m) + a-h
= 990m + 99h + 11a
= 11(90m + 11h + a)

S = 1000m+100h+10t+u est donc divisible par 11

Bonnes Fêtes à tous
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Décembre, 4ème défi

le 26 décembre 2014 à 19:11, par Daniate

Plus rapidement encore, on peut employer le critère de divisibilité par 11 ( est-il encore enseigné aujourd’hui ?), basé sur le fait que 10^n est congru à (-1)^n modulo 11, à savoir qu’un nombre est divisible par 11 si et seulement si la somme alternée de ses « chiffres » l’est aussi. Or ici cette somme alternée est m - h + t - u = 0.
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