Enunciado

La respuesta es $255$.

La suma de los primeros $n$ enteros positivos pares es

$2+4+6+\cdots+2n=2(1+2+3+\cdots+n)=n(n+1).$

La suma de los primeros $m$ enteros positivos impares es

$(1+2+3+\cdots+2m)-(2+4+\cdots+2m)=\frac{2m(2m+1)}{2}- m(m+1)=m^2.$

Las condiciones del problema implican que $m^2-212=n(n+1)$, lo cual se puede reescribir como $n^2+n+(212-m^2)=0$. Las soluciones de esta ecuación son :

$n=\frac{-1\pm \sqrt{1-4(212-m^2)}}{2}.$

Por lo tanto, $1-4(212-m^2)=4m^2-847$ debe ser el cuadrado de un entero positivo. Sea $p^2=4m^2-847$, lo cual puede factorizarse como $(2m+p)(2m-p)=847$. La descomposición en factores primos de $847$ es $7\times 11^2$, por lo que las únicas factorizaciones de $847$ son $847 \times 1$, $121 \times 7$ y $77 \times 11$, y como estos valores son iguales a $2m+p$ y $2m-p$, obtenemos $(m,p)=(212,423), (32,57)$ y $(22,33)$. Finalmente, encontramos los valores posibles de $n$ usando la igualdad $n=\frac{-1+p}{2}$, la cual nos da los valores $211, 28$ y $16$ respectivamente. Por lo tanto, la suma de los valores posibles de $n$ es $211+28+16=255$.