Semana 49

¿Cuál es el área de la región coloreada ?

Solución del quinto desafío de noviembre :

Enunciado

La solución es : una sola terna.

La desigualdad del enunciado es equivalente a cada una de las dos diguientes desigualdades :
\[ \begin{align*} x^2 + y^2 + z^2 + 3 - xy - 3y - 2z &< 0\\ \Bigl(x-\frac{y}{2}\Bigr)^2 + \frac{3}{4}(y-2)^2 + (z-1)^2 &< 1. \end{align*} \]

La última desigualdad obliga a que $(z - 1)^2 < 1$, $\tfrac{3}{4}(y-2)^2 < 1$ y
$(x - y/2)^2 < 1$. Entonces
\[ \begin{gather*} -* 1 < z - 1 < 1,\\ -* \frac{2}{\sqrt{3}} < y - 2 < \frac{2}{\sqrt{3}},\\ -* 1 < x - \frac{y}{2} < 1. \end{gather*} \]

Como $2/\sqrt{3} = 1{,}154\ldots$, deducimos que $z = 1$ y que $y = 1$, $2$ o $3$.

Si $y = 1$, entonces $-1 < x - 1/2 < 1$ y $-1/2 < x < 3/2$, lo que implica que ya sea $x = 0$, ya sea $x = 1$, y en ninguno de ambos casos la desigualdad inicial se cumple.

Si $y = 2$, entonces $-1 < x - 1 < 1$ y $0 < x < 2$, lo que conlleva que $x = 1$, esto es, $(x,y,z) = (1,2,1)$. Esta terna satisface la desigualdad inicial.

Si $y = 3$, entonces $-1 < x - 3/2 <1$ y $1/2< x < 5/2$, lo que implica que ya sea $x = 1$, ya sea $x=2$, y en ninguno de ambos casos la desigualdad inicial se cumple.

En conclusión, la desigualdad inicial no es satisfecha por ninguna terna de números enteros otra que $(1,2,1)$.