Dynamique de l’égalité

Le 20 novembre 2009 - Ecrit par Joël Merker Voir les commentaires (10)

Identité à soi de l’être égal à lui-même

Le mauvais et plat concept d’égalité, c’est celui auquel tout le monde
pense :
[
A
=
A,
]
et qui nous vient toujours immédiatement à l’esprit : la tautologie
logique de l’assertion d’identité à soi-même, répétition immensément
vide de l’être qui se déclare « être ce qu’il est et rien de plus,
sinon »—raisonnons mécaniquement par
l’absurde—« il ne serait plus rigoureusement égal à
lui-même ».

Répétition et différence

Mais déjà la répétition est une première différence. L’« $A$ » du
premier « $A$ », comme une initiale de ce qui subsume un genre
possible du divers, ou encore, comme désignation de variable
mathématique susceptible d’endosser un champ spécifique du numérique
ou un domaine intangible de l’univers ensembliste zermélo-fraenkélien,
ce « premier $A$ » tout simple que nous écrivons dans un premier
temps avec toute la lenteur physique d’un scribe, d’un étudiant, ou
d’un élève :
[
A
=
]
suspendus que nous sommes dans l’« $=$ » qui le suit, ce premier
« $A$ » quête un alter ego et recherche aussi un
« deuxième $A$ » qui ne sera pas « premier $A$ », et donc sera
déjà un peu et d’une certaine manière un « $A$ » autre que
« $A$ ».

Culte du signe « $=$ »

Tel est le jeu fascinant de la dynamique de l’égalité : comme
tous les gestes virtuoses du géomètre qui se produit en conférence et
au tableau, ce signe-fétiche et merveilleux dont sont remplies nos
milliers de pages de calculs est toujours germe virtuel d’une
différence et d’une nouveauté ; il nous sert indéfiniment à propulser
vers l’avant l’« irréversible-synthétique »—ce
sang des mathématiques que Kant n’avait pas vu—et à faire
rebondir inlassablement nos intuitions. Entre ces deux barres
horizontales :
[
=
]
c’est en effet une boule centripète de questions possibles qui sont
prises en sandwich. Et si le signe retenu par l’histoire importe peu,
seule compte la dynamique intrinsèque de l’égalité, demandeuse
insatiable d’altérité.

Renverser l’ordre des symboles

C’est pour toutes ces raisons et d’autres encore plus complexes et
plus profondes que les deux règles suivantes doivent gouverner l’alchimie
interne des manuscrits étoffés de calculs délicats.

Règle 1 : Donner la préséance au zéro.
Ne jamais écrire : « ${\bf X} = 0$ », mais toujours à
l’inverse :
[
0
=
\textune expression longue et complexe,
]
comme par exemple :
[
0=
M_l_1,l_2, y^l_3- M_l_1,l_3, y^l_2-
\sum_k=1^m\, L_l_1,l_2^k\, M_l_3, k+
\sum_k=1^m \, L_l_1,l_3^k \, M_l_2,k,
]

Règle 2 : Au positif, préférer le négatif. Commencer toute
addition suspendue par un signe « $-$ » et placer volontairement
les signes « $-$ » au début des équations et des parenthèses,
comme par exemple :
[
y_xx=

\square_xx^1+
y_x\cdot \left(
2\, \square_xy^1+\square_xx^0
\right)+
(y_x)^2\cdot \left(
\square_yy^1+2\, \square_xy^0
\right)+
(y_x)^3\cdot \square_yy^0.
]

L’algèbre immanente nous est inaccessible

Nonobstant tout ce que le jeu dominant du conceptuel a
posteriori aime à faire accroire, les mathématiques sont dans
leur essence même du calcul pur. La dynamique d’égalisation n’est
qu’une simple arme humaine de mobilité dans
l’immobilité symbolique. Mais l’algèbre quant à elle, non
locale, non temporelle et non sérielle synthétise toutes les relations
possibles immanentes dans son internalité totalisée et
inaccessible. Prenons donc l’altérisation dynamique du concept
d’égalité comme le signe de notre incapacité à voir vraiment le :
[
A=A
]
absolu de l’Algèbre.

Post-scriptum :

À propos d’égalité, on pourra également consulter à la rubrique Café des maths, l’article Égalité.

Commentaire sur l'article

A qui est-ce destiné ?

le 20 novembre 2009 à 10:02, par Michelle Schatzman

Je suis perplexe devant cet article, qui utilise un langage se situant à la limite de ma compréhension, et souvent du mauvais côté (comme le mot « subsumer »).

Cher Joël, peux-tu nous donner des explications en langue naturelle, disons quelque chose que je pourrais comprendre le soir quand je suis fatiguée, et que mes neurones ne sont pas tous allumés et fonctionnant à vitesse maximale ?

Par exemple, quand tu dis que les mathématiques sont dans leur essence même du calcul pur, est-ce que cela correspond effectivement à la pratique des mathématiques ?

Pour ce que je sais d’algèbre, l’une des activités des algébristes consiste à tourner autour des calculs impossibles pour en faire qui sont possibles et qui incluent une dimension conceptuelle énorme. Par exemple, puisqu’on ne peut pas résoudre l’équation générale du cinquième degré par radicaux, on tourne autour de la difficulté, et on détermine d’une part celles des équations du cinquième degré qu’on peut effectivement résoudre par radicaux, et d’autre part on trouve les objets mathématiques qu’on peut effectivement calculer à partir de la donnée d’une équation non résoluble par radicaux.

Tu vois, je suis en train de faire des calculs, cette fois-ci d’analyse, où je dois conjuguer d’une part des informations purement calculatoires (étude précise d’une fonction analytique qui est une transformée de Fourier-Laplace) et d’autre part des informations fonctionnelles, qui ne sortent pas vraiment du calcul, mais plutôt de ce que nous autres, spécialistes d’équations aux dérivées partielles, appelons des estimations. Faire des estimations, c’est calculer sur des inégalités, mais aussi inclure une information sur certains espaces de fonctions. L’analyse fonctionnelle provient historiquement de calculs, mais elle conceptualise les calculs pour en faire quelque chose de beaucoup plus souple.

Bien sûr, on a besoin quand on fait de l’analyse dite dure, de faire des estimations extrêmement précises, ce qui impose d’entrer dans le cœur de calculs parfois difficiles. Il n’en reste pas moins que l’art du mathématicien consiste à faire des calculs quand c’est nécessaire et à tourner autour quand c’est impossible - qu’il s’agisse d’impossibilités démontrées comme dans le cas de l’équation du cinquième degré, d’impossibilités vraisemblables, comme le faible nombre de formules explicites connues pour résoudre des équations différentielles ou aux dérivées partielles même linéaires, ou d’impossibilités dues à la complexité des formules : si j’ai à étudier une formule qui prend quatre vingt pages, je vais devoir développer des outils appropriés, ou je vais faire autre chose.

Qu’en penses-tu ?
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Réponse no.1 : Qui pense abstrait ?

le 25 novembre 2009 à 17:00, par Joël Merker

Flagrant délit de métaphysique

Subsumer ? Trop abstrait ? Sauve qui peut ! J’entends déjà qu’on
s’écrie : excès de pédantisme, vocabulaire scolastique, langue
philosophique obscure. Car métaphysique, lance Hegel,
"ainsi qu’ abstrait, et à peu de chose près aussi,
penser, est le mot devant lequel chacun plus ou moins fuit,
comme on détale devant un pestiféré".

Subsumer $=$ englober une catégorie d’étants [mathématiques] multiples

Le « A » qui « subsume un genre possible du divers »
[rapporte, réfère à un espèce, à un genre ; établit un rapport de
l’objet à l’essence à laquelle il appartient], c’est donc bien le
« A » archétypal de la pensée mathématique susceptible d’héberger,
sous un seul symbole choisi arbitrairement, tout une catégorie
multiple d’êtres mathématiques rassemblés par une propriété
définitionnelle commune. Acte de pensée
universel : se représenter un objets
quelconque spécifique : Soit $A$ une algèbre associative et
commutative, etc. ;
Soit $G$ un groupe de Lie compact
connexe semi-simple, etc. ; Soit $X$ un espace analytique
normal $(n-1)$-complet, etc., en un mot et en un seul :

Soit $A$ un objet mathématique défini mais
général et quelconque,

incipit mathématique absolu plus chargé de métaphysique tue
que ne l’est l’existence des objets sensibles.

Hegel à la rescousse

Concrétude imparable de l’abstraction : voilà ci-dessous un exemple
ironique et grinçant qui rappelle à merveille la capacité
effrayante que la conscience a de projeter brutalement tout
objet de jugement dans l’espace bipolarisé le plus étroit qui soit :
celui du « oui » ou du « non », du « bon » ou du
« mauvais », du « bien » ou du « mal ».

Mais pourrions-nous faire des mathématiques sans jongler
perpétuellement avec le « plus » et le « moins » de l’instinct
rationnel ? Pourrions-nous nous passer de hiérarchiser, d’attribuer
des médailles (olympiques) au compte-goutte, de classer, de reclasser
et de déclasser les universités et les laboratoires, de désigner
officiellement quelques « meilleurs », et d’exprimer le tout dans
la novlangue immédiatement intuitive des chiffres et des indicateurs,
des indices d’impact, et autres critères de Shangaï ? Non ! Plus
forte que tout, l’ abstraction qui projette, c’est un acte primal
de subsomption et d’englobement qui est essentiel à notre survie
dans un monde qui ne cesse de se complexifier.

Subsumer, c’est abstraire, et tout le monde le fait

« Éh la vieille, vos oeufs sont pourris ! », dit l’acheteuse à
la marchande. Quoi, répliqua celle-ci, mes oeufs pourris ? Pour
moi, c’est elle qui est pourrie ! Me dire ça de mes oeufs ! Elle !
Les poux n’ont-ils pas dévoré votre père sur un chemin de campagne,
votre mère ne s’est-elle pas enfuie avec les Français et votre
grand-mère n’est-elle pas morte à l’hospice ? Qu’elle s’achète pour son
foulard de pacotille une chemise convenable ! Son foulard et ses
bonnets, on sait bien d’où elle les tient ! Sans les officiers,
certaines ne seraient pas aussi bien nippées et, si les
« Madames » faisaient plus attention à leur ménage, plus d’une
croupirait derrière les barreaux ! Qu’elle commence déjà par repriser
les trous de ses bas ! Bref, elle ne tisse aucun bon fil sur elle.
Elle pense abstraitement en la subsumant [und
subsumiert sie] tout uniment — avec son foulard, ses bonnets,
sa chemise, etc., ses doigts et d’autres parties, son père et sa
famille entière — sous le crime d’avoir trouvé ses
oeufs pourris ; tout en elle se trouve de part en part coloré par
ces oeufs pourris, tandis que ces officiers dont la marchande
parlait — si tant est, ce dont on peut douter, qu’il y ait eu
quoi que ce soit à propos — ont pu parvenir à voir en elle de
tout autres choses."

Georg Wilhelm Friedrich Hegel, Qui pense abstrait ? [Wer denkt
abstract ?], 1807. Édition bilingue accompagnée d’une notice et d’un
essai sur l’exotérisme hégélien, par Ari Simhon, Hermann Éditions
(depuis 1876), Paris, 2007, 176 pp.

Mathématiciens, refusons d’être « subsumés » de la sorte !

Que vise le site Images des Mathématiques ? puisqu’il s’inscrit dans le
contexte d’une volonté étatique appuyée de « réformer » le système
universaliste du savoir scientifique, tant dans sa pérennisation que
dans sa créativité ? Sortie des tours d’ivoire, adresses au Grand
Public, « justifications » vis-à-vis de la société, vulgarisation,
échange, partage, et attraction des jeunes esprits : le but est de
créer et d’entretenir un antidote médiatique à la
« subsomption-de-la-marchande-aux-oeufs-pourris », et de
répondre si possible au même moment à trois objections trop
populaires :

Objection no. 1 : Voyons, toutes ces mathématiques
abstraites et déconnectées de la réalité, sont-elles utiles ?
À quoi peuvent-elles donc bien servir ?

Objection no. 2 : Je vois, c’est un peu comme l’art en
quelque sorte, les mathématiciens sont des artistes.

Objection no. 3 [prétendûment fatale] : Mais quand même,
l’art est accessible à bien des gens. Je ne suis pas sûr qu’il en
soit de même de vos groupes et espace $p$-adiques ...

Philosopher ?

Mais ce n’est pas là que le bât blesse le plus cruellement. À
quelque niveau que ce soit, plus personne dans nos sociétés
« internetisées » n’est, ne se sent, ou ne peut être en charge
de répondre sérieusement à la question : D’où venons-nous ? Que
faisons-nous ? Où allons-nous ? Quelles sont les racines métaphysiques
de la pensée mathématique ? Triste sort d’impuissance qui nous est
réservé présentement, quand l’on pense à l’alliance ancestrale entre la
mathématique et la philosophie !

[Colloque Mathématiques à venir : http://www.maths-a-venir.org/2009/]

« Explosion » des mathématique, abondance, profusion, confusion,
et saturation de l’information : ce ne sont que des excuses ! Au
contraire, penser — philosopher ? — reste éternellement
nécessaire. Et seule la fréquentation des grands textes littéraires et
philosophiques dans lesquels toutes ces questions sont ardemment
remuées permet de surnager au jour le jour. Il nous faut alors mettre
aussi au point une artillerie (lourde ?) de stratagèmes
argumentatifs imparables afin de convaincre les jeunes esprits que la
pensée est une mer navigable dans laquelle on slalome entre les
errances passées afin de se construire une sagesse possible.
Répondre à ce message
Réponse no. 2 : prendre garde aux questions philosophiques déjà traitées !

le 26 novembre 2009 à 12:41, par Joël Merker

Chère Michelle,

non, non, cela ne passe au-dessus de la tête de personne.
Ce que je dis est très simple. Je dis qu’on effleure,
sur le site IDM, des questions trop difficiles,
et qu’on ne peut pas se dispenser de se ressourcer régulièrement
— quand on guerroie avec ces questions —
aux grandes pensées littéraires et philosophiques.

Sinon, ce serait un peu comme si une communauté donnée,
par exemple une communauté spéciale d’historiens des mathématiques,
se mettait à recréer un espace de recherche en mathématiques
en étudiant des questions qu’elle croie « ouvertes »,
alors qu’au sein de la communauté des mathématiciens professionnels,
tout le monde sait fort bien que ces questions-là
sont résolues depuis des siècles.

Ils nous feraient rire, de tels historiens des mathématiques,
n’est-ce pas !

Deuxième réponse aujourd’hui, il y en aura d’autres, tant les
questions que tu m’adresses sont nombreuses et délicates.
C’est très précieux de pouvoir bénéficier d’interactions, merci.

Amitiés,

Joël
Répondre à ce message

Réponse no. 2 : prendre garde aux questions philosophiques déjà traitées !

le 27 novembre 2009 à 13:13, par Michelle Schatzman

Cher Joêl merci de ta réponse publique à mon mesage privé, dont je retranscris l’essentiel, pour que les lecteurs comprennent mieux :

je viens de lire ta réponse no 1, et je dois admettre qu’elle me passe complètement au dessus de la tête.

Maintenant, avec ta réponse 2, cela commence à s’éclaircir (et je peux aussi expliquer pourquoi je ne comprenais pas grand chose initialement : c’était dû à ma profonde ignorance philosophique).

Ce que tu dis, c’est que certains problèmes abordés sur le site Image des mathématiques ont des aspects philosophiques et qu’il convient de dégager ces aspects afin de mieux en parler et de mieux comprendre leurs enjeux.

De même que les mathématiciens qui écrivent ici tentent de parler dans une langue aussi simple que possible, il serait bon que celui qui parle du point de vue philosophique fasse un effort analogue, et qu’il sache faire monter le niveau d’abstraction de ses lecteurs, en les prenant là où ils sont.

L’entrée dans l’abstrait est quelque chose de suffisamment difficile en mathématique pour justifier ce que j’appellerais une pédagogie hélicoïdale : on commence par une approximation assez sale d’un concept, on apprend à s’en servir, puis on reprend la chose de manière plus propre et éventuellement plus générale, on s’en sert, on en voit les limites et ainsi de suite.

Ayant eu l’occasion d’enseigner à des non matheux, en particulier des élèves ingénieurs, et de collaborer avec des non matheux de tout poil, je considère comme essentiel d’aborder les mathématiques en partant du niveau de mes interlocuteurs, et de leur donner la possibilité de reformuler leur pensée dans un langage qui leur soit plus familier que le langage savant des matheux.

Je n’ai pas plus la science que la philosophie infuses, et ma formation dans le domaine est minimale : le cours de philosophie en terminale math élèm en 65-66 (l’ancêtre de la section S) et quelques lectures, dont Casstoriadis, que je n’ai sans doute guère compris, Pierre Clastres et un peu de Claude Lefort. Je ne suis pas plus familière avec le langage philosophique qu’avec, disons, ce qui peut s’écrire dans un article contemporain de théorie des nombres.

J’ai donc une requête : s’il te plaît, laisse de côté la rhétorique philosophique, et parle-nous plus en langue naturelle, afin de nous laisser accéder à tes problématiques, sans nous arrêter à des aspects peut-être superficiels de ton discours.
Répondre à ce message

Réponse no. 3 : Corollaire métaphysique sur le calcul

le 27 novembre 2009 à 12:48, par Joël Merker

Circulations conceptuelles fluides

Une tradition choisit de contourner les calculs. C’est-à-dire :
de ne pas faire certains calculs. Ou de se les déclarer
consensuellement comme n’étant pas faisables, pas exhibables. Et de se
convaincre en privé par des tentatives avortées que tel est bien le
cas. C’est un peu comme s’habituer à circuler en voiture sur des
routes goudronnées : pourquoi s’imposerait-on de se lancer hors-sentier
et pieds-nus à travers champs et dans la montagne hostile ?

Hilbert et Gromov

Rien jusqu’à présent n’a contredit la conviction qu’exprimait Hilbert
en 1900 : tout problème mathématique est résoluble
mathématiquement. Gromov va encorer plus loin : We solve our
problems essentially as fast as we state them. It took, probably, a
couple of thousand brain-hours to state the Fermat theorem and mere
instance (compared to exp(2000)) to solve it, no more than $10^5$
brain-hours.

Corollaire : aucun calcul n’est infaisable.

Explorer librement afin de mieux appréhender l’ouverture

Ce n’est que dans l’ a posteriori de l’exploration libre
que certaines branches de calculs ébauchés pourront être
envisagées comme superflues par rapport à tout objectif prédéfini, par
exemple démontrer une conjecture. L’ouverture mathématique, c’est
magnétique : on peut et on doit calculer dans toutes les
directions possibles. Partout, des portes attirent, partout, des
connexions sont possibles. Mais alors, comment embrasser
tout cela ?
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Equation du 5ème degré

le 27 novembre 2009 à 13:16, par Michelle Schatzman

Peut-on calculer par radicaux les solutions de l’équation polynomiale du 5ème degré ? Bien sûr que non, comme l’ont démontré Abel et Galois. Alors, que veut dire la citation de Hilbert ?
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Dynamique de l’égalité

le 20 novembre 2009 à 13:37, par kikoolol

ptdr !!! mortel l’égalité je kiffe à donf
Répondre à ce message
Dynamique de l’égalité

le 20 novembre 2009 à 22:42, par Xavier Caruso

Il y a sans doute quelque chose que je n’ai pas compris, mais je trouve un peu triste que la règle 2 n’ait, semble-t-il, pas été respectée dans l’exemple illustrant la règle 1.
Répondre à ce message
Dynamique de l’égalité

le 21 novembre 2009 à 21:29, par Samuel

C’est amusant, on dirait du Frege sous acide.
Répondre à ce message
Dynamique de l’égalité

le 26 novembre 2009 à 14:21, par pi.erdeux

Superbe article. Merci de nous avoir « rappelé » (dans votre réponse) Hegel et son exemple de subsumation.

Je ne connais pas grand chose aux mathématiques, mais merci à vous et à tous ceux sur ce site qui essaent de maintenir la position des mathématiques à l’intérieur de la culture.
Répondre à ce message

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L'auteur

Joël Merker

Professeur, Université d’Orsay.

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Commentaire sur l'article

A qui est-ce destiné ?

le 20 novembre 2009 à 10:02, par Michelle Schatzman

Réponse no.1 : Qui pense abstrait ?

le 25 novembre 2009 à 17:00, par Joël Merker

Flagrant délit de métaphysique

Subsumer $=$ englober une catégorie d’étants [mathématiques] multiples

Hegel à la rescousse

Subsumer, c’est abstraire, et tout le monde le fait

Mathématiciens, refusons d’être « subsumés » de la sorte !

Philosopher ?

Réponse no. 2 : prendre garde aux questions philosophiques déjà traitées !

le 26 novembre 2009 à 12:41, par Joël Merker

Réponse no. 2 : prendre garde aux questions philosophiques déjà traitées !

le 27 novembre 2009 à 13:13, par Michelle Schatzman

Réponse no. 3 : Corollaire métaphysique sur le calcul

le 27 novembre 2009 à 12:48, par Joël Merker

Circulations conceptuelles fluides

Hilbert et Gromov

Explorer librement afin de mieux appréhender l’ouverture

Equation du 5ème degré

le 27 novembre 2009 à 13:16, par Michelle Schatzman