Un desafío por semana

Enero 2015, quinto desafío

El 30 enero 2015  - Escrito por  Ana Rechtman
El 31 enero 2015
Artículo original : Janvier 2015, 5e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 5:

¿Cuántos cubos perfectos dividen a $3!\times 5!\times 7!$?

($n!=1\times 2\times \cdots\times n$).

Solución del cuarto desafío de enero:

Enunciado

La respuesta es $x=50$ cm$^2$.

El área del rectángulo, que es la suma de las áreas coloreadas y en blanco, es el producto $AB\cdot BC$. Es decir, si $r$,
$s$, $t$ y $v$ son las áreas de las regiones en blanco, tenemos

$ AB\cdot BC = 35+9+6+x+r+s+t+v.$

PNG - 46.6 KB

Por otra parte, las áreas de los triángulos $DEC$ y $AFD$ son respectivamente

$ \frac{DC\cdot BC}{2} = \frac{AB\cdot BC}{2} = s+x+v$

$ \frac{AD\cdot DC}{2} = \frac{BC\cdot AB}{2} = r+x+t.$

Reemplazando estos valores en la primera ecuación vemos que:

$AB\cdot BC = 50+\frac{AB\cdot BC}{2}+\frac{AB\cdot BC}{2}-x$

$0 = 50-x$

$x = 50$ cm$^2$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart. 2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Enero 2015, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Jean-Lou Zimmermann/Biosphoto

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