Un desafío por semana

Enero 2016, segundo desafío

El 8 enero 2016  - Escrito por  Ana Rechtman
El 8 enero 2016
Artículo original : Janvier 2016, 2e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 2:

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

$x_1 + 4x_2+9 x_3 + 16 x_4 = 1$

$4 x_1 + 9 x_2+16 x_3 + 25 x_4 = 8$

$9 x_1 + 16 x_2+25 x_3 + 36 x_4 = 23.$

Calcular el valor de $x_1 + x_2+x_3 + x_4$.

Solución del primer desafío de enero:

Enunciado

La respuesta es $\widehat{MBN}=56^\circ.$

Como $M$ pertenece a la mediatriz de $AB$, el triángulo $ABM$ es isosceles en $M$ y $\widehat{MAB}=\widehat{ABM}.$ Del mismo modo, el hecho que $N$ pertenezca a la mediatriz de $BC$ nos permite obtener la igualdad $\widehat{NBC}=\widehat{BCN}.$

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Además, al descomponer el ángulo $\widehat{ABC}$, obtenemos:

$\widehat{ABM}+\widehat{MBN}+\widehat{NBC} = \widehat{ABC}=118^\circ.$

Como la suma de los ángulos de un triángulo es de $180^\circ$, tenemos que:

$\widehat{CAB}+\widehat{BCA}= 180^\circ-\widehat{ABC}=180^\circ-118^\circ=62^\circ.$

Al usar las igualdades $\widehat{ABM}=\widehat{CAB}$ y $\widehat{BCA}=\widehat{NBC},$ obtenemos finalmente $\widehat{MBN}+62^\circ=118^\circ$, y por lo tanto $\widehat{MBN}=56^\circ.$

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Enero 2016, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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