Enunciado

La respuesta es $0$.

Veremos que el menor valor posible es $0$. Como la expresión buscada es no negativa, basta dar un ejemplo para el cual obtenemos $0$.

Sea $n\geq 4$ un entero. Consideremos los números consecutivos $n$, $n+1$, $n+2$ y $n+3$. Podemos cambiar de la siguiente manera los signos $\bigcirc$ para obtener $0$ :

$+ n - (n+1)- (n+2) +(n+3)=0.$

Para los $3$ primeros números escribimos $1+2-3$, y reagrupamos los $804$ números siguientes en cuartetos $+ n - (n+1)- (n+2) +(n+3)$. De esta manera obtenemos

$|1+ 2-3 +(4-5-6+7)+ (8-9-10+11)+\cdots +(+804-805-806+807)|=0.$