Enunciado

La solución es : $3\,333\,333\,330$.

Sea $N$ el mútiplo (positivo) más pequeño de $1998$ que solo posee las cifras $0$ y $3$.

Dicho $N$ es de la forma $N=d_1d_2d_3 \cdots d_n$, con $d_i=0$ o $3$. La última cifra $d_n$ debe ser $0$ pues la última cifra de $1998$ es $8$, y ningún múltiplo de $8$ termina en $3$. Por tanto, $N$ es par.

Tenemos también $\frac{N}{3} = e_1e_2e_3 \cdots e_n$, donde $e_i=1$ si $d_i =3$ y $e_i=0$ en caso contrario.

Puesto que $\frac{N}{3}$ es múltiplo de $9$ (en efecto, $1998$ es igual a $74\times 9\times 3$), hay al menos $9$ cifras $1$ entre los $e_i$ para así llegar a una suma de dígitos divisible por $9$ ; como $e_n=0$, el menor candidato para $\frac{N}{3}$ es $1\,111\,111\,110$.

Así, el menor número $N$ es
$3\,333\,333\,330=1998\times 1\,668\,335$.