Enunciado

La solución es : $24\sqrt{5}\, cm$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $C$ y tal que $AB=100\, cm$, $BC=80\, cm$ y $CA=60\, cm$. Tracemos un segmento $CD$ que una el vértice $C$ a la hipotenusa, de tal manera que el perímetro de los triángulos $ADC$ y $DBC$ sean iguales. El problema es calcular la longitud de $CD$.

Como los triángulos $ADC$ y $DBC$tienen el mismo perímetro, tenemos
\[CA+AD+CD=CD+DB+BC,\]
de donde
$CA+AD=DB+BC=\frac{240}{2}=120\, cm$. Como $CA=60\, cm$, obtenemos
$AD=120-60=60\, cm$.

Tracemos la altura desde $C$ en el triángulo $ACD$, y llamemos $E$ su pie. Como el triángulo $AEC$ es semejante al triángulo $ACB$, obtenemos $\frac{AE}{60}=\frac{60}{100}$, de donde $AE=36\, cm$, y por tanto $ED=AD-AE=60-36=24\, cm$. De igual manera se obtiene $\frac{CE}{60}=\frac{80}{100}$, de donde $CE=48\, cm$. Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo $CED$, ontenemos entonces
\[CD^2=ED^2+CE^2=24^2+48^2=5 \, (24^2),\]
de donde se deduce que $CD=24\sqrt{5}\, cm$.