Un desafío por semana
Enero 2020, tercer desafío
El
17 enero 2020
- Escrito por
Ana Rechtman
El
17 enero 2020
Artículo original :
Janvier 2020, 3e défi
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México)!
Semana 3
Tres números primos $p$, $q$ y $r$ son tales que su suma es par. Determina el valor de $pqr - 2(pq+qr+rp) + 4(p+q+r)$.
Enunciado
Consideremos uno de los triángulos, como se muestra a continuación:

Por el teorema de Pitágoras, tenemos que
$BC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\,\text{cm}$.
Por otro lado, la construción inicial indica que los ángulos $\langle CAD$ y $\langle ABD$ son iguales, porque pertenecen a triángulos superponibles.
Los triángulos rectángulos $ABD$ y $CBA$ son semejantes, por lo que $AD/AC = BA/BC$, de donde obtenemos que $AD = 3/\sqrt{10}\,\text{cm}$.
Utilizando de nuevo el teoréma de Pitágoras, esta vez al triángulo $ADB$, obtenemos que
\[
BD
= \sqrt{3^2 - \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2}
= \sqrt{\frac{81}{10}}
= \frac{9}{\sqrt{10}}\,\text{cm}.
\]
De aquí deducimos que el área del triángulo $ABD$ vale
\[
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{9}{\sqrt{10}}\Bigr) \Bigl(\frac{3}{\sqrt{10}}\Bigr)
= \frac{27}{20}\,\text{cm}^2.
\]
Como el área coloreada está compuesta de cuatro copias superponibles del triángulo $ABD$, se tiene
\[
4\times \frac{27}{20}
= \frac{27}{5}\,\text{cm}^2.
\]
Además, el área total del cuadrado es $3^2 = 9 =45/5$ $\text{cm}^2$, así que el porcentaje buscado es
\[
\frac{27/5}{45/5} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5} = \frac{60}{100}.
\]
La solución es $60\,\%$
.
Post-scriptum : Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.
Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.
Para citar este artículo:
— «Enero 2020, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020
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