Faut-il arrêter d’enseigner les maths à l’école ?

Le 6 août 2012  - Ecrit par  Pierre Colmez Voir les commentaires (14)
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Le site Atlantico.fr m’a offert d’écrire une tribune
pour répondre à une nouvelle tribune du New York Times qui irrite pas mal de monde
dans le milieu mathématique. Il me semble qu’elle peut aussi intéresser les lecteurs d’Images des maths.

Andrew Hacker, professeur de sciences politiques
à la retraite, a publié une tribune dans le New York Times intitulée
« Is Algebra necessary ? », à laquelle Le Monde a donné un retentissement douteux dans
sa rubrique Big Brother du 30 juillet 2012, sous le titre provocateur « Faut-il arrêter
d’enseigner les maths à l’école ?
 ». Sa thèse est que le rôle de sélection
joué par les mathématiques empêche des tas de gens talentueux
d’accéder à l’Université et que les mathématiques enseignées
(en particulier l’algèbre) sont beaucoup trop coupées de ce que
les gens auront à utiliser dans leur vie professionnelle et devraient
être remplacées par des notions de la vie réelle.
Je ne vais pas discuter du problème de la sélection
(Hacker parle des États-Unis où le lycée est à cursus unique
contrairement à la France et, en ce qui concerne la France,
il faudrait commencer par se poser la question de savoir si une
sélection quelconque est nécessaire, si la sélection par les
maths existe vraiment (ce n’est pas très clair si on regarde
la formation de nos hommes politiques), avant de savoir si elle est néfaste ou pas) ;
par contre je vais essayer de discuter le second point.

Ce genre de discours refait surface régulièrement, et à chaque
fois je me fais la réflexion qu’en poussant le raisonnement jusqu’au
bout, on aboutit à la suppression pure et simple de l’enseignement : en
ce qui me concerne, je serais bien en peine de citer beaucoup de choses
apprises à l’école et dont j’ai eu à me servir en dehors
(à part l’orthographe car j’écris tous les jours et les mathématiques
car je suis mathématicien).
J’ai suivi de longues études de physique et la seule
application que j’en ai trouvée a été la vidange du bain de ma fille
à l’aide d’un tuyau (vive le principe d’Archimède !), technique
que j’ai apprise en CM2 pour la vidange de l’aquarium de la classe.
De même, la seule connaissance de chimie que j’utilise
consciemment est le fait que le manque d’oxygène pour la combustion
produit du CO qui est un poison au lieu du CO2 qui est un gaz parfaitement
inoffensif (à dose raisonnable), et donc je fais
attention à ma chaudière à gaz.
Le but de l’éducation n’est certainement pas
de préparer les élèves directement à leur futur métier
(c’est parfaitement impossible ; il faudrait enseigner beaucoup
trop de choses vu la diversité des métiers potentiels),
mais de leur donner des bases, aussi étendues
que possible, pour leur permettre d’apprendre efficacement
ce dont ils auront besoin une fois leur métier choisi, et aussi pour
comprendre les informations nécessaires pour prendre les
décisions de la vie de tous les jours, sans oublier la constitution
d’une base de repères (culturels et autres) pour les relations sociales.
Plus on diminue le niveau de ce qui est offert à l’école et plus on avantage
les gens issus de familles capables de prendre le relais (enseignants, cadres, etc.).

De ce point de vue, il est clair qu’il faut faire un gros effort
sur la maîtrise du français (pour la vie de tous les jours)
et de l’anglais qui, on peut le regretter, est devenu incontournable
pour communiquer avec des étrangers, même non anglophones.
Mais il faut aussi faire un gros effort sur les mathématiques
qui sont la langue dans laquelle s’écrivent les autres sciences
et, de plus en plus, les sciences sociales ; tous les domaines
ayant créé de l’argent (pas forcément de la richesse...)
au cours des dernières décennies utilisent des mathématiques
à haute dose. On peut trouver des mathématiques sophistiquées
dans des endroits fort inattendus : un jour où je faisais des maths
dans un café, j’ai remarqué que mon voisin consultait sur internet
une page remplie de formules mathématiques impressionnantes ; je lui ai
donc demandé s’il était mathématicien et il m’a répondu que
pas du tout, il fabriquait des jouets pour les enfants !
Il est indispensable que les enfants maîtrisent les
4 opérations élémentaires à la sortie du primaire, ce qui
ne veut pas dire qu’il faut qu’ils sachent faire des opérations
avec des nombres comportant plein de chiffres (il vaut mieux laisser cela à une machine),
mais qu’ils comprennent
quelles opérations faire devant
un problème énoncé en mots (par exemple qu’ils
soient à même de voir que 20% de rabais
supplémentaire sur un rabais de 40%, ça ne fait pas 60% de rabais
mais seulement 52%), et qu’ils aient une idée de l’ordre de grandeur
du résultat sans faire les opérations.

Maintenant, il faut savoir de quoi on parle quand on parle de mathématiques.
Du point de vue des autres disciplines, c’est
un outil très efficace pour formuler et étudier les problèmes, en particulier
pour prédire ce qui va se passer (cela a permis à l’Homme de réaliser
des exploits impensables comme marcher sur la lune,
produire de l’énergie à partir de la fission de l’atome, ou encore
de prédire l’existence du boson de Higgs qui a fait les gros titres
des journaux récemment).
C’est
aussi une science à part entière avec ses problèmes et une esthétique
propre (la notion de beauté revient constamment dans les propos
des mathématiciens), mais
c’est aussi un jeu avec un aspect assez magique qui peut donner lieu
à des compétitions comme les olympiades internationales de mathématiques
(où la France ne brille pas vraiment)
ou les concours Kangourou.

Les tenants de l’aspect utilitaire des mathématiques
ont réduit la matière enseignée au collège et au lycée à une succession de
recettes et de formules apprises par coeur et déconnectées les unes
des autres, et d’algorithmes à exécuter le plus
efficacement possible.
Or apprendre par coeur est une vraie torture
pour le cerveau, surtout si ce qu’on doit apprendre est déconnecté
de ce qu’on connait déjà (il ne lui est probablement pas très facile de coder
l’information et c’est encore plus dur s’il ne sait pas où il doit
la mettre), et faire des calculs sans but est une horreur
(disons-le tout de suite, tout ceci n’est pas des mathématiques, même
si c’est enseigné sous ce nom).
Le résultat est que les élèves sortent du lycée avec un
dégoût des mathématiques et un
savoir sans cohérence (et donc qui s’oublie facilement car seul ce qui
a un sens se retient facilement), largement inutile car ils ne
pourront jamais rivaliser avec les ordinateurs dans l’exécution
des algorithmes (version Claude Allègre, ministre de l’Éducation Nationale,
cela donne : "Les maths sont en train de se dévaluer de manière quasi inéluctable.
Désormais, il y a des machines pour faire les calculs"). Le problème a été grandement amplifié
par les diminutions horaires (pour des raisons budgétaires)
et l’introduction d’une dose
massive de statistiques au lycée.
Cette introduction a sûrement été motivée
par le rôle grandissant joué par les statistiques
dans les sciences expérimentales ou sociales ; l’idée
que l’on peut extraire de l’information fiable sans avoir
une information complète est une
petite révolution intellectuelle qui a amplement prouvé son
intérêt pratique.
Ceci dit, cette introduction dans un cours de mathématiques, au niveau
du lycée, est parfaitement néfaste à plusieurs niveaux.
On ne peut pas faire de statistiques sur des objets du cours de mathématiques
(on pourrait imaginer faire faire une centaine de lancers de dés à chaque
élève pour collecter des données, et glisser 2 ou 3 dés pipés pour
pimenter l’expérience, mais on ne va pas aller très loin comme ça).
On est donc forcé de faire appel à des données extérieures
et donc d’utiliser les statistiques de manière passive, comme une
collection de recettes sans vraie signification (la justification mathématique
de ces formules est largement au-dessus du niveau du programme), sans s’être
demandé ce qu’on voulait mesurer, pourquoi on voulait le mesurer, et comment
on devait le mesurer pour ne pas introduire de biais.
Cela débouche sur des exercices parfaitement absurdes comme
le premier de l’épreuve de Mathématiques du Baccalauréat 2012
de la série ES. La création d’un cours de sciences
économiques et sociales comportant une forte composante de statistiques
serait sûrement une bonne idée (c’est en gros ce en quoi Hacker
veut transformer les cours de mathématiques aux États-Unis), mais
remplacer des mathématiques proches des sciences exactes par des statistiques
revient à privilégier la gestion sur la création.

L’approche utilitariste a succédé à la
vision des mathématiques comme une science propre,
concrétisée par l’introduction des « maths modernes »
dans l’enseignement. Du point de vue de la discipline,
les « maths modernes » ont été une réussite indéniable : les succès actuels
de l’École Française de mathématiques sont largement
dus au niveau de l’enseignement datant de cette époque.
Il est assez fréquent de comparer les mathématiques à un arbre,
et l’approche « maths modernes » consistait à construire cet
arbre niveau par niveau, en partant des racines ; l’approche utilitariste
consiste à dire "ces branches produisent des fruits qui nous plaisent,
les autres pas donc on transplante celles qui nous plaisent
ailleurs ; elles continueront à produire des fruits sans leurs racines et
cela libérera de la place pour autre chose...".
Malheureusement, le programme comportait un certain nombre
d’absurdités pédagogiques (surtout au collège) que les tenants de l’approche
utilitariste ont utilisées pour discréditer l’ensemble
et imposer leur point de vue. C’est fort regrettable car
le programme, une fois débarrassé de ces absurdités,
aurait conservé une vraie logique débouchant sur l’acquisition
d’un savoir cohérent, d’une grande souplesse d’utilisation, et sur lequel on pourrait
construire. Par ailleurs, cette approche permet, nettement mieux que l’utilitariste,
de faire faire aux élèves des démonstrations, ce qui structure
très efficacement la pensée et induit une certaine forme
d’honnêteté intellectuelle (il faut admettre qu’en ce qui concerne
les relations sociales, apprendre à bluffer et à séduire est
sûrement plus utile au plan personnel, mais pas forcément au plan
collectif).

Un autre reproche que l’on pouvait faire aux « maths modernes »
était de ne pas utiliser l’aspect ludique des mathématiques
et leur pouvoir quasi-magique (toutes choses susceptibles d’allumer
une étincelle dans les yeux des élèves et de leur faire
comprendre que la science peut procurer beaucoup de plaisir).
On peut très tôt faire sentir ce pouvoir des mathématiques
aux enfants. Demander à un enfant de faire
des dizaines de divisions avec des nombres à plusieurs chiffres
choisis au hasard
est une absurdité complète,
mais lui demander de calculer 100 divisé
par 7, 17, 19, 3, 11, 37, avec 100 chiffres après la virgule
peut éveiller sa curiosité et mener à un dialogue intéressant.
Dans le même ordre d’idée, j’ai appris à mes filles ce qu’était
la base 3 grâce à un petit tour de cartes assez spectaculaire
(surtout réalisé par un enfant) : on prend un paquet de 27 cartes,
et on demande à la victime de choisir une carte et de la remettre dans
le paquet sans la montrer et de choisir un nombre entre 1 et 27 ;
on retourne alors les cartes 1 par 1, en faisant 3 paquets de 9 cartes,
et on demande dans quel paquet se trouve la carte ; on remet les paquets
dans l’ordre que l’on veut et on recommence ; au bout de
la troisième fois, on compte les cartes une par une, sans les montrer,
et au nombre choisi par la victime on fait apparaître, devant ses yeux ébahis, la carte
choisie !
À un niveau plus élevé, le théorème de Fermat (qui se retrouve affublé du nom
de « dilemme de Fermat » dans les articles mentionnés plus haut, ce qui conduit à
se demander si les auteurs savent vraiment de quoi ils parlent) est un fort bel
énoncé qui a fait rêver des générations de mathématiciens amateurs,
et qui fournit une belle histoire (fort bien racontée dans un documentaire de
la BBC) pouvant intéresser n’importe quel élève et donner goût à
la recherche scientifique à certains.

Un reproche récurrent fait à l’enseignement des mathématiques
est son abstraction. C’est malheureusement dans la nature des
choses : le petit enfant met beaucoup de temps à comprendre
ce que 3 veut dire, encore plus à comprendre ce que 10 veut dire,
et beaucoup plus ce que 1000 veut dire (si on y réfléchit bien,
ce n’est si évident que 3 verres et 3 fleurs aient quelque chose en commun !).
Beaucoup de monde est choqué par le fait que diviser par 0,5 donne un
résultat plus grand que le nombre initial ; il semble qu’il existe
même des gens qui se refusent définitivement à l’admettre ;
faut-il pour autant supprimer la division par un nombre plus petit que 1
des programmes ? Ce qui est dans le collimateur de Hacker c’est des questions
du genre : résoudre l’équation $5x+2=10x-8$. Il semble qu’il y ait
beaucoup de gens qui n’arrivent pas à comprendre ce que représente $x$,
et qu’il y ait là un vrai saut conceptuel ; faut-il s’interdire ce genre
de problèmes ? Même à un niveau nettement plus élevé, on
entend des mathématiciens dire « Ce que fait untel est incroyablement
abstrait », ce qu’il faut traduire par « Je ne comprends pas ce que fait
untel » ; les mêmes, plusieurs mois plus tard, pourraient fort bien
déclarer « Finalement, ce que fait untel est très concret... »
L’abstraction est une des grandes forces des mathématiques et une des raisons
de son efficacité déraisonnable dans les sciences de la vie ; au lieu d’essayer
à toute force de la faire disparaître, il vaudrait mieux se donner les moyens
d’aider les gens devant les difficultés qu’ils rencontrent pour l’appréhender
(cela demande de répertorier les points sensibles). Illustrer les concepts
par des exemples sortant de la vie de tous les jours n’est pas toujours possible :
on peut illustrer le concept de croissance exponentielle par
l’invasion de l’Australie par les lapins, mais le plus souvent les exemples
illustratifs demanderaient de commencer par présenter une autre théorie
(physique ou autre) et de dire "Vous voyez, ce qu’on vient de voir s’applique
à cette question" ; après il n’est pas clair que les élèves
considèreraient l’illustration plus intéressante que le concept mathématique
initial, surtout s’ils n’y avaient pas réfléchi au préalable.

En conclusion, en réponse à la provocation du Monde : Non, il ne faut
pas arrêter d’enseigner les maths à l’école. Au contraire, il faut
redonner à l’enseignement des mathématiques sa cohérence, redonner
ses lettres de noblesse à la démonstration, privilégier
les idées sur les recettes sans signification, arrêter de torturer
les élèves avec l’application d’algorithmes et utiliser l’aspect ludico-magique
des mathématiques pour éveiller la curiosité des élèves.
Il faut pas mal d’efforts pour mettre en place un tel programme, mais
le jeu en vaut la chandelle, ne serait-ce que parce que c’est plus
agréable de voir (et d’enseigner) des choses un peu pétillantes ou parce que la durée de vie
d’un métier est de plus en plus courte et les jeunes d’aujourd’hui peuvent
très bien se retrouver à devoir changer plusieurs fois de spécialité et donc ont
besoin d’une formation qui leur permette de se reconvertir sans efforts
insurmontables.

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Pour citer cet article :

Pierre Colmez — «Faut-il arrêter d’enseigner les maths à l’école ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

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  • Faut-il arrêter d’enseigner les maths à l’école ?

    le 6 août 2012 à 17:37, par Samuel

    Merci pour cette réponse à laquelle je souscris totalement. D’accord également avec la quasi-totalité commentaire précédent. La suppression des équations différentielles du secondaire m’afflige. Donne-t-on encore une culture scientifique aux élèves de S quand il y a à peine un siècle, et même si la science a progressé depuis, Poincaré écrivait (« la valeur de la science », page 125) :

    « Une loi [physique] pour nous [...], c’est une relation constante entre le phénomène d’aujourd’hui et celui de demain ; en un mot, c’est une équation différentielle. »

    Cela dit, quand on voit le niveau d’algèbre (ou de géométrie) des élèves arrivant en seconde et les volumes horaires proposés, on n’est pas surpris de voir apparaître un coupe franche d’une notion aussi essentielle que celle d’équa diff (on a déjà quasiment abandonné la géométrie), mais on se désole encore davantage quand cette suppression s’effectue au profit d’un programme déjà correct de statistiques / probabilités, ou d’un saupoudrage d’algorithmique.

    Un prof du secondaire.

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