Enunciado

La respuesta es $23$.

Llamemos $a,b,c$ y $d$ a las cuatro fichas. Como en el primer lanzamiento obtenemos los números $1$, $3$, $4$ y $6$, podemos suponer que cada uno de estos números están escritos en una de las caras de $a$, $b$, $c$ y $d$ respectivamente.

Como Juan obtiene en el segundo lanzamiento los números $1$, $3$, $5$ y $7$, y como los números $1$ y $3$ están en la fichas $a$ y $b$, tenemos que los números $5$ y $7$ están escritos en las fichas $c$ y $d$. Es decir, los números $4$, $5$, $6$ y $7$ están escritos en la fichas $c$ y $d$ y los números $1$, $2$, $3$ y $8$ están escritos en las fichas $a$ y $b$.

En el último lanzamiento aparecen los números $2$, $3$, $6$ y $7$, por lo que los números $2$ y $3$ no están escritos en la misma ficha, ni tampoco los números $6$ y $7$. Se deduce entonces que $a$ tiene escritos los números $1$ y $2$, $b$ tiene los números $3$ y $8$, $c$ los números $4$ y $7$, y $d$ los números $6$ y $5$.

Por lo tanto, la mayor suma que se puede obtener es $2+8+7+6=23$.