Un desafío por semana

Febrero 2018, primer desafío

El 2 febrero 2018  - Escrito por  Ana Rechtman
El 2 febrero 2018
Artículo original : Février 2018, 1er défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019!

Semana 5:

Ubicamos los números del $1$ al $25$ en el cuadrado, de tal manera que cada número (excepto el $1$ y el $2$) sea la suma de dos de sus vecinos (el $1$ tiene ocho vecinos). ¿Cuánto vale $X$?

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Solución del cuarto desafío de enero:

Enunciado

La respuesta es si.

Comencemos con un tablero de $2\times 2$. Una manera de construirlo es

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Ahora vamos a construir un tablero de $4\times 4$. Para esto, usaremos el tablero de $2\times 2$. Para que las sumas obtenidas sigan siendo distintas, agregaremos números $1$ y $-1$ de la siguiente manera:

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Para completar el tablero, basta incluir el tablero de $2\times 2$ que construimos, pero con sus filas invertidas:

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Observemos que podemos construir un tablero de $(2k+2)\times (2k+2)$ a partir de uno de $2k \times 2k$. El el tablero de $2k \times 2k$, las sumas son iguales a $-(2k-1)$, $-(2k-2)$, $\dots$, $-(2k-(2k-1))$, 0, $\ldots, 2k$. Entonces, para construir un tablero de $(2k+2)\times (2k+2)$ ubicamos el tablero de $2k \times 2k$ en la parte superior izquierda, y luego, ubicamos los números $1$ en las primeras $2k$ casillas de la $(2k+1)$-ésima fila y en las primeras $2k$ casillas de la $(2k+1)$-ésima columna, y los números $-1$ en las primeras $2k$ casillas de la $(2k+2)$-ésima fila y en las primeras $2k$ casillas de la $(2k+2)$-ésima columna. Finalmente, ubicamos el tablero de $2\times 2$ que construimos al principio, pero con las filas invertidas.

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Notamos que las sumas de los números de las $(2k+2)$ columnas y de las $(2k+2)$ filas del tablero de $(2k+2)\times (2k+2)$ van desde el $-(2k+1)$ al $(2k+2)$. De esta manera, tomamos todos los números del $-(2k+1)$ al $2k+2$. Luego, es posible construir un tablero de $2n\times 2n$ para cualquier entero positivo $n$. En particular, es posible construir un tablero de $1000\times 1000$.

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Para citar este artículo:

— «Febrero 2018, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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