Enunciado

La respuesta es $100$ pares.

Notemos que $100\,000\,001=10^8+1$, por lo que la ecuación se transforma en $m^4+n=10^8+1$. Queremos entonces saber cuántos enteros estrictamente positivos $m$ y $n$ satisfacen la ecuación precedente. Si $m>10^2$ tenemos

$10^8+1=m^4+n>(10^2)^4+n=10^8+n\geq 10^8+1,$

lo cual es absurdo. Por lo tanto, $1\leq m\leq 10^2$, por lo que $m^4\leq 10^8$, de donde $-m^4 \geq -10^8$. Tenemos así :

$m^4+n = 10^8+1$

$n = 10^8+1-m^4$

$n \geq 10^8+1-10^8$

$n \geq 1.$

A partir de esto, para cada entero $m$ tal que $1\leq m\leq 10^2$ tenemos la solución $(m, 10^8+1-m^4)$. Es decir, hay $10^2=100$ parejas de soluciones para el problema.