Un défi par semaine
Février 2018, 1er défi
Le 2 février 2018 Voir les commentaires (10)Lire l'article en
Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !
Semaine 5 :
On place les nombres de $1$ à $25$ dans le carré, de telle façon que chaque nombre (sauf le $1$ et le $2$) soit la somme de deux de ses voisins (le $1$ a huit voisins). Combien vaut $X$ ?
Solution du 4e défi de Janvier :
La réponse est oui.
Commençons par un damier de $2\times 2$. Une manière de le construire est
Maintenant nous allons construire un damier de $4\times 4$. Pour ce faire, nous utili-serons le damier de $2\times 2$. Pour que les sommes obtenues continuent à être distinctes, rajoutons des $1$ et des $-1$ de la façon suivante
Pour compléter le damier, il suffit d’inclure le damier de $2\times 2$ que nous avons construit, mais en l’inversant
Observons que nous pouvons construire un damier de $(2k+2)\times (2k+2)$
à partir d’un damier de $2k \times 2k$. Dans le damier de $2k \times 2k$ les sommes seront égales à $-(2k-1)$, \mbox$-(2k-2)$,$\dots$, $-(2k-(2k-1))$, 0, $\ldots, 2k$. Donc, pour construire un damier de $(2k+2)\times (2k+2)$ on place un damier de $2k \times 2k$ dans la partie supérieure gauche, ensuite on dispose les nombres $1$ dans les $2k$ premières cases de la $(2k+1)$-ième ligne et dans les $2k$ premières cases de la $(2k+1)$-ième colonne et les nombres $-1$ dans les $2k$ premières cases de la $(2k+2)$-ième ligne et dans les $2k$ premières cases de la $(2k+2)$-ième colonne. Finalement, on place le damier de $2\times 2$ qu’on a construit au début, mais avec les lignes inversées.
On voit que les sommes des nombres des $(2k+2)$ colonnes et des $(2k+2)$ lignes du damier de $(2k+2)\times (2k+2)$ vont de $-(2k+1)$ à $(2k+2)$. De cette manière on a tous les nombres de $-(2k+1)$ à $2k+2$. Ainsi, il est possible de construire un damier de $2n\times 2n$ pour tout entier positif $n$. En particulier, il est possible de construire un damier de $1000\times 1000$.
Partager cet article
Pour citer cet article :
Ana Rechtman — «Février 2018, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018
Laisser un commentaire
Articles suggérés
Si vous avez aimé cet article, voici quelques suggestions automatiques qui pourraient vous intéresser :
-
-
le 20 novembre 2015Défi du calendrier mathématique 2015 : petit problème à résoudre….lire l'article -
le 26 janvier 2018Dans chaque case d’un damier on écrit l’un des nombres suivants : 1,−1 ou 0. Ensuite, on ajoute tous les nombres écrits sur chaque ligne et sur chaque colonne. Est-il possible de...lire l'article
Actualités des maths
-
14 février 2020Bob Hummer, le mathémagicien fou (Paris, 20/02)
-
24 janvier 2020Maths & mesure – mesurer le monde (Poitiers, 2020)
-
23 janvier 2020Les nouvelles formes d’argent décentralisé : le Bitcoin et les cryptomonnaies (Montpellier, 29/1)
-
22 janvier 2020Topologie en sous-sol (Paris, 28/1)
-
13 janvier 2020Des tas de sable aux pixels, deux siècles et demi de transport optimal depuis Monge (Paris, 15/1, reportée !)
-
10 janvier 2020Rencontre avec Alecos Papadacos, auteur de Logicomix (Lyon, 16/1)
Commentaire sur l'article
Février 2018, 1er défi
le 30 janvier 2018 à 10:43, par Lhooq
Février 2018, 1er défi
le 30 janvier 2018 à 11:02, par Lhooq
Février 2018, 1er défi
le 30 janvier 2018 à 11:09, par Lhooq
Février 2018, 1er défi
le 30 janvier 2018 à 11:10, par Lhooq
Février 2018, 1er défi
le 2 février 2018 à 10:22, par Daniate
Février 2018, 1er défi
le 6 février 2018 à 00:57, par drai.david
Février 2018, 1er défi
le 6 février 2018 à 11:25, par drai.david
Février 2018, 1er défi
le 16 février 2018 à 20:50, par Niak
Février 2018, 1er défi
le 16 février 2018 à 23:30, par drai.david
Février 2018, 1er défi
le 17 février 2018 à 00:03, par Niak