Enoncé

Remarquons déjà qu’il y a bien $\binom 52 = 10$
façons de regrouper les cinq nombres deux par deux, et donc $10$ sommes possibles.

Notons $a, b, c, d$ et $e$ les cinq nombres cherchés, rangés par ordre croissant : $a \leq b \leq c \leq d \leq e$.

Chacun des cinq nombres apparaît dans exactement quatre des dix sommes, donc la somme des dix sommes (qui vaut $72$) vaut également $4(a+b+c+d+e)$, d’où l’on tire $a+b+c+d+e = 18$.

Par ailleurs, les deux sommes les plus grandes sont, dans l’ordre $d+e=15$ et $c+e=13$ (il n’est en revanche pas clair a priori si la troisième, $11$, est $b+e$ ou $c+d$). De même, les deux sommes les plus petites sont $a+b=0$ et $a+c=2$.

On a donc $18 = \underbrace{a+b}_{=0}+c+\underbrace{d+e}_{=15}$, donc $c = 3$. De $a+c = 2$, on tire $a = -1$ puis, de $a+b=0$, $b=1$. De même, on tire $e = 10$ de $c+e=13$ puis $d = 5$ de $d+e=15$.

Les cinq nombres cherchés sont donc $-1, 1, 3, 5$ et $10$.

La solution est $-1, 1, 3,$ $5$ et $10$.