Fourmis auto-tamponneuses
Piste verte Le 20 juillet 2019 Voir les commentaires (1)
Une colonie de fourmis tombe soudainement sur un morceau de branche abandonné par terre et se met alors en mouvement ; certaines fourmis partent vers la gauche, les autres vers la droite.
- Lorsque deux fourmis se retrouvent nez-à-nez, elles rebondissent comme deux billes de billard et repartent en sens opposé : celle qui marchait initialement vers la droite (resp. gauche) se retrouve à marcher vers la gauche (resp. droite). L’image suivante illustre la situation.
- Lorsqu’une fourmi arrive à l’une des deux extrémités de la branche, elle chute de la branche.
Problème :
Combien de temps faudra-t-il au maximum pour que toute la colonie de fourmis chute de la branche ?
Réponse à l’énigme
La réponse à l’énigme devient évidente si on a l’idée de cligner des yeux à chaque fois que deux fourmis se retrouvent nez-à-nez. En effet, si on cligne des yeux pendant les quelques instants où deux fourmis rebondissent l’une sur l’autre, lorsqu’on rouvre les yeux, il est impossible de savoir ce qu’il s’est réellement passé... Les deux fourmis ont pu rebondir l’une sur l’autre comme c’était la règle mais nos fourmis imaginaires ont tout aussi bien pu passer l’une au travers de l’autre et ainsi continuer leurs trajectoires comme si de rien n’était. C’est ce qu’illustre l’animation suivante : sur la branche du bas, les fourmis avancent imperturbablement en ligne droite.
On en déduit donc que le temps mis par la colonie de fourmis pour chuter de la branche est au plus égal au temps mis par une seule fourmi pour parcourir toute la branche et ce, quel que soit le nombre de fourmis dans la colonie.
Tout simple, non ? Mais encore fallait-il y penser... [1]
Merci à Serge Cantat de nous avoir fait connaître ce petit problème, ainsi qu’aux relecteurs François Guéritaud, Reynald Thelliez et Thomas Sauvaget pour leurs commentaires et remarques.
Notes
[1] Les lecteurs qui auraient du mal à cligner des yeux aux bons moments pourront imaginer que chaque fourmi porte un petit drapeau et que lorsque deux fourmis se retrouvent nez-à-nez, elles échangent leurs drapeaux. Si à présent on oublie les fourmis pour ne regarder que les drapeaux, tout se passe comme si ces derniers se déplaçaient en ligne droite indépendamment les uns des autres.
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Pour citer cet article :
Aurélien Alvarez, Jos Leys — «Fourmis auto-tamponneuses» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019
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Commentaire sur l'article
Fourmis auto-tamponneuses
le 22 juillet 2019 à 16:17, par Suriezmi