Un défi par semaine

Janvier 2015, 5e défi

Le 30 janvier 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 5 :

Combien de nombres qui sont des cubes divisent $3!\times 5!\times 7!$ ?

($n!=1\times 2\times \cdots\times n$.)

Solution du 4ème défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $x=50$ cm$^2$.

L’aire du rectangle, qui est la somme des aires des zones
coloriées et blanches, est le produit $AB\cdot BC$. Autrement dit, si $r$,
$s$, $t$ et $v$ sont les aires des zones claires, on a

$ AB\cdot BC = 35+9+6+x+r+s+t+v.$

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Par ailleurs, les aires des triangles $DEC$ et $AFD$ sont respectivement

$ \frac{DC\cdot BC}{2} = \frac{AB\cdot BC}{2} = s+x+v$

$ \frac{AD\cdot DC}{2} = \frac{BC\cdot AB}{2} = r+x+t.$

Substituant ces valeurs dans la première équation on voit que :

$AB\cdot BC = 50+\frac{AB\cdot BC}{2}+\frac{AB\cdot BC}{2}-x$

$0 = 50-x$

$x = 50$ cm$^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2015, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Jean-Lou Zimmermann/Biosphoto

Commentaire sur l'article

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  • Janvier 2015, 5ème défi

    le 30 janvier 2015 à 09:10, par Daniate

    Bonjour

    Vous pouvez avoir une certitude en décomposant en produit de facteurs premiers, ceci pour trouver les nombres naturels. Si l’on parle de nombres entiers, il faudra ajouter les opposés des 6 solutions, et s’il s’agit de nombres réels, tous les réels non nuls sont solutions.

    Répondre à ce message

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