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Un défi par semaine

Janvier 2015, 5e défi

Le 30 janvier 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 5 :

Combien de nombres qui sont des cubes divisent $3!\times 5!\times 7!$ ?

($n!=1\times 2\times \cdots\times n$.)

Solution du 4ème défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $x=50$ cm$^2$.

L’aire du rectangle, qui est la somme des aires des zones
coloriées et blanches, est le produit $AB\cdot BC$. Autrement dit, si $r$,
$s$, $t$ et $v$ sont les aires des zones claires, on a

$ AB\cdot BC = 35+9+6+x+r+s+t+v.$

PNG - 46.6 ko

Par ailleurs, les aires des triangles $DEC$ et $AFD$ sont respectivement

$ \frac{DC\cdot BC}{2} = \frac{AB\cdot BC}{2} = s+x+v$

$ \frac{AD\cdot DC}{2} = \frac{BC\cdot AB}{2} = r+x+t.$

Substituant ces valeurs dans la première équation on voit que :

$AB\cdot BC = 50+\frac{AB\cdot BC}{2}+\frac{AB\cdot BC}{2}-x$

$0 = 50-x$

$x = 50$ cm$^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2015, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Jean-Lou Zimmermann/Biosphoto

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2015, 5ème défi

    le 30 janvier 2015 à 08:43, par gedspilett

    Bonjour

    Par « tâtonnements » je ne vois que 6 nombres dont le cube divise l’expression 3 !*5 !*7 ! , ce sont : 1,2,3,4,6 et 12 .

    Répondre à ce message

    • Janvier 2015, 5ème défi

      le 30 janvier 2015 à 09:10, par Daniate

      Bonjour

      Vous pouvez avoir une certitude en décomposant en produit de facteurs premiers, ceci pour trouver les nombres naturels. Si l’on parle de nombres entiers, il faudra ajouter les opposés des 6 solutions, et s’il s’agit de nombres réels, tous les réels non nuls sont solutions.

      Répondre à ce message

    • Janvier 2015, 5ème défi

      le 30 janvier 2015 à 12:49, par Jérôme

      Bonjour,
      l’énoncé est : Combien de nombres qui sont des cubes divisent ..., pas combien y a-t-il de nombres dont le cube divise... Ça change la donne.

      Répondre à ce message

      • Janvier 2015, 5ème défi

        le 30 janvier 2015 à 13:09, par Jérôme

        Autant pour moi, ça revient au même. Houlala, pas réveillé moi aujourd’hui...

        Répondre à ce message

  • Janvier 2015, 5ème défi

    le 30 janvier 2015 à 13:26, par zgreudz

    Comme « Indiana » Jones dans le N°1 : bang ! :-)

    In[1] := n = 3 ! 5 ! 7 ! ;
    diviseurs = Divisors[n] ;
    cubes = Table[x^3, x, 1, Ceiling[n^(1/3)]] ;
    communs = Intersection[diviseurs, cubes] ;
    (#^(1/3)) & /@ communs

    Out[4]= 1, 2, 3, 4, 6, 12

    Répondre à ce message

  • Janvier 2015, 5ème défi

    le 30 janvier 2015 à 15:32, par jeremz0310

    3 !×5 !×7 ! ?
    Ça nous fait 2³×3³×4²×5²×6×7
    Puisque 4=2²et 6=3×2, ça nous fait
    2³×3³×2⁴×5²×3×2×7=2^7×3⁴×5²×7
    Après, on a toujours aⁿ×bⁿ = (an)ⁿ, et aⁿ×a^m = a^(n+m), donc on s’arrange pour avoir n + m = 3 (ou 3×2, ou 3×3...) sur un même nombre premier, ou alors avoir les mêmes puissances sur deux nombres premiers a et b, avec la puissance égale à 3, ou 3×1...
    Je compte donc 1, 2³ 2^6 (soit 4³), 3³, 6³,12³ (3³×4³)... J’en ai peut être oublié, mais c’est comme ça que je vois les choses.

    Répondre à ce message

  • Janvier 2015, 5ème défi

    le 30 janvier 2015 à 23:33, par Daniate

    Si a divise b alors a^3 divise b^3, donc il suffit de trouver le plus grand naturel dont le cube divise 3 !*5 !*7 ! les autres seront ses diviseurs.

    3 !*5 !*7 !=2^6*3^3*5^2*7

    la décomposition en facteurs premiers d’un cube ne contient que des exposants multiples de 3, il faut exclure 5 et 7, reste alors 2^6*3^3 qui est le cube de 2^2*3=12

    les diviseurs de 12 sont donc les solutions : 1,2,2^2=4,3,2*3=6,2^2*3=12

    Répondre à ce message

  • Janvier 2015, 5ème défi

    le 31 janvier 2015 à 11:59, par Daniate

    Naturellement, tout le monde a corrigé, dans la décomposition les exposants de 2 et 3 sont 8 et 4. La suite reste correcte. Je présente toutes mes excuses.

    Répondre à ce message

  • Janvier 2015, 5ème défi

    le 31 janvier 2015 à 14:09, par ROUX

    Quatre nombres qui sont 8 , 64 , 27 et 216  ?
    Être un cube, c’est être le cube d’un nombre ?
    Si N est le cube de n cela signifie que N = n*n*n .

    Les solutions de jeremz0310 , quoi.

    Répondre à ce message

  • Janvier 2015, 5ème défi

    le 31 janvier 2015 à 20:14, par Daniate

    Vous avez raison la question porte sur des nombres qui sont des cubes, mais vous oubliez les extrêmes 1 et 1728.

    De plus la question étant : Combien de nombres qui sont des cubes ....? la réponse au défi est donc 6

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