Un défi par semaine

Janvier 2015, 5e défi

Le 30 janvier 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 5 :

Combien de nombres qui sont des cubes divisent $3!\times 5!\times 7!$ ?

($n!=1\times 2\times \cdots\times n$.)

Solution du 4ème défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $x=50$ cm$^2$.

L’aire du rectangle, qui est la somme des aires des zones
coloriées et blanches, est le produit $AB\cdot BC$. Autrement dit, si $r$,
$s$, $t$ et $v$ sont les aires des zones claires, on a

$ AB\cdot BC = 35+9+6+x+r+s+t+v.$

PNG - 46.6 ko

Par ailleurs, les aires des triangles $DEC$ et $AFD$ sont respectivement

$ \frac{DC\cdot BC}{2} = \frac{AB\cdot BC}{2} = s+x+v$

$ \frac{AD\cdot DC}{2} = \frac{BC\cdot AB}{2} = r+x+t.$

Substituant ces valeurs dans la première équation on voit que :

$AB\cdot BC = 50+\frac{AB\cdot BC}{2}+\frac{AB\cdot BC}{2}-x$

$0 = 50-x$

$x = 50$ cm$^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2015, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Jean-Lou Zimmermann/Biosphoto

Commentaire sur l'article

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  • Janvier 2015, 5ème défi

    le 30 janvier 2015 à 13:26, par zgreudz

    Comme « Indiana » Jones dans le N°1 : bang ! :-)

    In[1] := n = 3 ! 5 ! 7 ! ;
    diviseurs = Divisors[n] ;
    cubes = Table[x^3, x, 1, Ceiling[n^(1/3)]] ;
    communs = Intersection[diviseurs, cubes] ;
    (#^(1/3)) & /@ communs

    Out[4]= 1, 2, 3, 4, 6, 12

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