Enoncé

La réponse est non.

Comme $2017$ est impair et que la somme de deux nombres impairs est paire, le nombre d’entiers impairs consécutifs est nécessairement impair. Notons $c$ le nombre central de la somme donnant $2017$ : ses nombres voisins, $c-2$ et $c+2$, sont de somme $2c$. De même, leurs voisins sont aussi de somme $2c$ : en effet $(c-4) + (c+4) = 2c$.
En regroupant alors les termes de la somme deux à deux, on obtient que $2017$ s’écrit comme un multiple de $c$ et donc que $c$ divise $2017$.
Cependant, $2017$ est premier donc $c=1$ ou $c=2017$.

• Si $c=1$ alors $c-2<0$, ce qui est interdit.
• Si $c=2017$, la somme ne contient que ce nombre, ce qui est interdit.

Finalement $2017$ ne peut s’écrire comme la somme de nombres impairs consécutifs.