Janvier 2017, 2e défi

Le 13 janvier 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 2 :

On souhaite décomposer l’ensemble $\{2,3,\dots, 32\}$ en sous-ensembles vérifiant qu’aucun de ses éléments ne divise les autres. Compter le nombre minimal de sous-ensembles nécessaire afin que cela soit possible.

Solution du 1er défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est non.

Comme $2017$ est impair et que la somme de deux nombres impairs est paire, le nombre d’entiers impairs consécutifs est nécessairement impair. Notons $c$ le nombre central de la somme donnant $2017$ : ses nombres voisins, $c-2$ et $c+2$, sont de somme $2c$. De même, leurs voisins sont aussi de somme $2c$ : en effet $(c-4) + (c+4) = 2c$.
En regroupant alors les termes de la somme deux à deux, on obtient que $2017$ s’écrit comme un multiple de $c$ et donc que $c$ divise $2017$.
Cependant, $2017$ est premier donc $c=1$ ou $c=2017$.

Si $c=1$ alors $c-2<0$, ce qui est interdit.
Si $c=2017$, la somme ne contient que ce nombre, ce qui est interdit.

Finalement $2017$ ne peut s’écrire comme la somme de nombres impairs consécutifs.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

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Janvier 2017, 2e défi

le 16 janvier 2017 à 07:22, par ROUX

Très belle construction-démonstration : je viens de m’amuser avec ;) !
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