Commentaire sur l'article

• Janvier 2020, 1er défi

  le 3 janvier 2020 à 10:04, par drai.david

  Je résous le problème dans $\mathbb{Z}$ car c’est plus intéressant...
  $n^2+1$ doit diviser $n^2+5n+2 - (n^2+1)$, donc $n^2+1$ doit diviser $5n+1$.
  Ainsi, il doit existe un entier $k$ tel que : $5n+1=k(n^2+1)$, ce qui équivaut à :
  $kn^2-5n+k - 1=0$.
  Cette équation du second degré en $n$ n’a de solutions que si le discriminant est positif.
  $\Delta =(-5)^2-4k(k-1)=-4k^2+4k+25$.
  $\Delta \geq 0\Leftrightarrow -4k^2+4k+25\geq 0$.
  $\Delta '=4^2-4\times (-4)\times 25=416=4^2\times 26$.
  $k_1=\frac{1-\sqrt{26}}{2}\approx -2,05$ et $k_2=\frac{1+\sqrt{26}}{2}\approx 3,05$.
  D’où $-2\leqslant k \leqslant3$.
  On teste les 6 valeurs de $k$ :
  $k=-2$ fournit $n=-1$, $k=1$ fournit $n=0$ et $n=5$ et $k=3$ donne $n=1$.
  Ainsi, $n\in\left \{ -1;0;1;5\right \}$.

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• Janvier 2020, 1er défi

  le 3 janvier 2020 à 13:04, par Niak

  Un peu plus directement, si $n^2+1$ divise $5n+1$, alors $0\leq n^2+1\leq |5n+1|$ ce qui donne $n\leq5$ pour $n\geq0$ et $|n|\leq 5-\frac{2}{|n|}<5$ pour $n<0$. D’où l’encadrement $-4\leq n\leq 5$.

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• Janvier 2020, 1er défi

  le 3 janvier 2020 à 10:09, par Gérard JONEAUX

  pour que a divise b, soit a et b sont égaux, soit b-a divise b.
  Donc soit 5x=x², alors x n’est pas entier, soit x²+1 divise 5x+1
  x = 1 ou 5..

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• Janvier 2020, 1er défi

  le 3 janvier 2020 à 10:46, par drai.david

  « pour que $a$ divise $b$, soit $a$ et $b$ sont égaux, soit $b-a$ divise $b$. »  ???
  J’avoue que je ne comprends pas.
  Par exemple, si $b=3$ alors $a$ divise $b$ si et seulement si $a=1$ ou $a=3$.
  Mais avec votre « propriété », on obtient :
  Pour que $a$ divise $3$, soit $a=3$, soit $3-a$ divise $3$. Or la solution $a=1$ n’est fournie par aucun de vos deux cas, puisque $2$ ne divise pas $3$ !
  Par ailleurs l’équation $5x=x^2$ admet deux solutions entières (dont une strictement positive comme demandé) : $0$ et $5$ !
  Donc votre raisonnement m’échappe de A à Z...
  Cordialement.

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• Janvier 2020, 1er défi

  le 3 janvier 2020 à 11:50, par Gérard JONEAUX

  Oh ! Merci de m’avoir corrigé !
  J’avais écrit : pour que a divise b, soit a et b sont égaux, soit b-a divise b,
  au lieu de : pour que a divise b, soit a et b sont égaux, soit a divise b-a.

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• Janvier 2020, 1er défi

  le 3 janvier 2020 à 12:54, par Niak

  Cela dit, si $a=b$ alors $a$ divise aussi $b-a=0$ (du moins pour $a\neq0$).

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• Janvier 2020, 1er défi

  le 5 janvier 2020 à 04:28, par Ana Rechtman

  Bonne année à tous !

  Les textes mensueles du calendrier seront publiés ici : https://www.lemonde.fr/blog/binaire/

  Bonne lecture !

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