Un défi par semaine
Janvier 2020, 3e défi
Le 17 janvier 2020 Voir les commentaires (4)Lire l'article en
Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !
Trois nombres premiers $p$, $q$ et $r$ sont tels
que leur somme soit paire. Déterminer la valeur de
\[pqr-2(pq+qr+rp)+4(p+q+r).\]
Solution du 2e défi de janvier :
Considérons l’un des triangles, comme illustré ci-dessous.
D’après le théorème de Pythagore, on a
$BC= \sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\,\text{cm}$.
D’autre part, la construction initiale entraîne que les angles $\widehat{CAD}$ et $\widehat{ABD}$ sont égaux, car ils appartiennent à des triangles superposables.
Les triangles rectangles $ABD$ et $CBA$ sont alors semblables.
Ainsi, $\frac{AD}{AC}=\frac{BA}{BC}$, d’où l’on tire $AD= \frac{3}{\sqrt{10}}\,\text{cm}$.
En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore, cette fois dans le triangle $ADB$, on obtient
\[BD=
\sqrt{3^2-\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right
)^2}=\sqrt{\frac{81}{10}}=\frac{9}{\sqrt{10}}\,\text{cm}.\]
On en déduit que l’aire du triangle $ABD$ vaut $\frac{1}{2}\left(\frac{9}{\sqrt{10}}\right )\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{27}{20}\,\text{cm}^2$.
L’aire coloriée étant formée de quatre copies superposables du triangle $ABD$, elle vaut donc
$4\times \frac{27}{20}=\frac{27}{5}\,\text{cm}^2$.
Par ailleurs, l’aire totale du carré est $3^2=9=\frac{45}{5}\,\text{cm}^2$, donc le pourcentage cherché est
\[ \frac{27/5}{45/5} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5} = 60\,\%. \]
La solution est $60\,\%$.
Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.
Disponible en librairie et sur www.pug.fr
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Pour citer cet article :
Ana Rechtman — «Janvier 2020, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020
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