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• Juillet 2016, 1er défi

  le 1er juillet 2016 à 07:24, par Lina

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  18/7

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• Juillet 2016, 1er défi

  le 1er juillet 2016 à 15:55, par Kamakor

  Petit indice : a^6 + b^6=(a^2 + b^2)(a^4 - a^2.b^2 + b^4)
  a^6 - b^6=(a^2 - b^2)(a^4 + a^2.b^2 + b^4)

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• Juillet 2016, 1er défi

  le 1er juillet 2016 à 16:52, par Al_louarn

  Définissons $f(x,y) = \dfrac{x+y}{x-y} + \dfrac{x-y}{x+y}$ pour tous réels $x \neq y$.
  Alors $f(x,y) = \dfrac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = 2\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$.
  Ainsi $f(a^3,b^3)=2\dfrac{a^6+b^6}{a^6-b^6}$.
  On a aussi $f(a,b)=2\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=6$, qui se simplifie en $a^2=2b^2$, d’où $a^6=8b^6$.
  Donc $f(a^3,b^3)=2\dfrac{8b^6+b^6}{8b^6-b^6}=\dfrac{18}{7}$.

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• Juillet 2016, 1er défi

  le 1er juillet 2016 à 18:12, par Al_louarn

  On peut généraliser :
  $f(x^n,y^n)=2\dfrac{x^{2n}+y^{2n}}{x^{2n}-y^{2n}}$.
  En divisant le numérateur et le dénominateur par $y^{2n}$ on obtient :
  $f(x^n,y^n)=2\dfrac{q^n+1}{q^n-1}$, avec $q=(\dfrac{x}{y})^2$.

  Il suffit ensuite de calculer $q$ à partir de $f(x,y)$.
  Partant de $f(x,y)=2\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$, on obtient :
  $(x^2-y^2)f(x,y)=2(x^2+y^2)$
  $(f(x,y)-2)x^2=(f(x,y)+2)y^2$
  $(\dfrac{x}{y})^2=\dfrac{f(x,y)+2}{f(x,y)-2}$

  Par exemple avec $f(a,b)=6$ on trouve $q=2$, et donc $f(a^n,b^n)=2\dfrac{2^n+1}{2^n-1}$.

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• Juillet 2016, 1er défi

  le 2 juillet 2016 à 01:08, par Lina

  Un peu d’algèbre ne fait pas de mal. L’expression de départ après réduction au même dénominateur, et après l’utilisation de l’égalité du parallélogramme ((x+y)²+(x-y)²=2x²+2y²) donne a²=2b² et donc a^3=2sqr(2)b^3 ou -2sqr(2)b^3 mais la symétrie de la formule permet de négliger le signe -. Après la simplification par b^3 on recommence le même calcul pour obtenir 18/7. Dans le cas général a^n=(sqr(2)^n)b^n et après la simplification par b^n, et toujours la même procédure on retrouve la formule d’Al_louarn. Si on remplace 6 par un réel p la formule au rang n devient 2((p+2)^n+(p-2)^n)/((p+2)^n-(p-2)^n) ce qui prouve que quand n tend vers +infini quel que soit p> 2 l’expression tend vers 2. p entre -2 et 2 donne des solutions intéressantes.

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• Juillet 2016, 1er défi

  le 2 juillet 2016 à 01:08, par Lina

  Un peu d’algèbre ne fait pas de mal. L’expression de départ après réduction au même dénominateur, et après l’utilisation de l’égalité du parallélogramme ((x+y)²+(x-y)²=2x²+2y²) donne a²=2b² et donc a^3=2sqr(2)b^3 ou -2sqr(2)b^3 mais la symétrie de la formule permet de négliger le signe -. Après la simplification par b^3 on recommence le même calcul pour obtenir 18/7. Dans le cas général a^n=(sqr(2)^n)b^n et après la simplification par b^n, et toujours la même procédure on retrouve la formule d’Al_louarn. Si on remplace 6 par un réel p la formule au rang n devient 2((p+2)^n+(p-2)^n)/((p+2)^n-(p-2)^n) ce qui prouve que quand n tend vers +infini quel que soit p> 2 l’expression tend vers 2. p entre -2 et 2 donne des solutions intéressantes.

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• Juillet 2016, 1er défi

  le 4 juillet 2016 à 10:20, par Guy B.

  En divisant des les numérateurs et dénominateurs par b (sous la condition b non nul)
  l’équation (a+b)/(a-b)+(a-b)/(a+b)=6 peut se mettre sous la forme (x-1)/(x+1)+(x+1)/(x-1)=6
  avec x=a/b.

  qui est équivalente à x^2=2

  De manière similaire l’expression (a^3-b^3)/(a^3+b^3)+(a^3+b^3)/(a^3-b^3) devient (x^3-1)/(x^3+1)+(x^3+1)/(x^3-1) que l’on peut évaluer pour les deux valeurs possibles de x.
  On obtient alors deux fois le même résultat 18/7

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