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Un défi par semaine

Juillet 2016, 3e défi

Le 15 juillet 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 29 :

Le demi-cercle a son diamètre sur le côté du triangle et est tangent aux deux autres côtés de ce triangle. Quelle est la longueur de son rayon ?

Solution du 2e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $624$ coloriages.

Il n’existe pas de coloriage avec moins de $3$ couleurs. Avec $3$ couleurs il y a qu’une façon de colorier le pentagone : deux paires de sommets adjacents d’une couleur chaque paire, et le dernier sommet de la troisième couleur ; car nous ne prenons pas en compte les coloriages qui s’obtiennent l’un de l’autre par rotation. On représente ceci par $aabcc$, avec $a, b$ et $c$ les trois couleurs choisies parmi les six disponibles. Donc pour chaque choix de trois couleurs il y a une seule façon de colorier le pentagone. Pour choisir la couleur $a$ on a 6 possibilités, pour $b$ on en a 5 et pour $c$ on en a 4, donc on obtient $6 \times 5 \times 4 = 120$ colorations du pentagone avec trois couleurs.

D’une façon analogue, si nous avons $4$ couleurs, il y a une couleur utilisée pour deux sommets forcément adjacents. Donc le pentagone sera colorié de manière $aabcd$. Nous avons $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ possibilités pour choisir les quatre couleurs, donc $360$ coloriages possibles.

Finalement, le coloriage avec $5$ couleurs nous donne $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 6! = 720$ possibilités. Mais attention, l’arrangement $abcde$ est équivalent par exemple à $bcdea$, il s’agit d’une simple rotation. Nous devons donc diviser par $5$ les possibilités, soit $\frac{720}{5}=144$ coloriages possibles.

Au total cela fait $120+360+144=624$ manières différentes de colorier ce pentagone.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Juillet 2016, 3e défi

le 15 juillet 2016 à 08:25, par Bernard Hanquez

1,5 cm ?

Pourquoi ?

Le triangle est rectangle car 3^2+4^2=5^2
Sa surface est donc (3x4)/2
Appelons R le rayon du demi cercle.
Traçons le segment qui joint le centre du demi cercle au sommet situé en haut à gauche.
Ce segment divise le triangle en deux triangles plus petits.
Les surfaces de ces deux triangles sont (3xR)/2 et (5xR)/2

Donc (3x4)/2 = (3xR)/2 + (5xR)/2
et en simplifiant 8xR= 12 et R = 1,5 cm

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Juillet 2016, 3e défi

le 15 juillet 2016 à 10:27, par Daniate

Bonjour,

En fait vous redémontrez une propriété de la bissectrice dans un triangle quelconque. Son pied partage le coté opposé dans le même rapport que les côtés correspondants.
On obtient alors l’équation R/3=(4-R)/5 qui redonne bien 1,5 cm
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Juillet 2016, 3e défi

le 15 juillet 2016 à 11:28, par Bernard Hanquez

Bonjour,

Merci de votre commentaire.
En fait je ma suis inspiré de la formule qui donne de rayon du cercle inscrit d’un triangle quelconque connaissant ses trois côtés.
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Juillet 2016, 3e défi

le 15 juillet 2016 à 20:18, par Daniate

Bonsoir, il suffit de compléter la figure par symétrie horizontale pour que le demi-cercle devienne cercle inscrit dans un triangle 5,5,6 et votre formule fera le reste. Si on aime se compliquer la vie on peut aussi utiliser la formule tan(2x)=2tan(x)/(1-tan²(x)) appliquée à l’angle supérieur et sa bissectrice. Je suppose qu’il existe d’autres démonstrations donc le défi reste grand ouvert.
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Juillet 2016, 3e défi

le 15 juillet 2016 à 15:00, par orion8

Bonjour. On peut aussi calculer de deux manières l’aire du triangle de droite :
$ \dfrac{5R}{2} = \dfrac{3(4-R)}{2} $
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Juillet 2016, 3e défi

le 15 juillet 2016 à 09:31, par orion8

Joignons le « centre » du demi-cercle de rayon $ R $ avec le point de tangence.
On obtient deux triangles rectangles ayant un angle aigu en commun. Ce qui donne :
$ \dfrac{R}{4-R}=\dfrac{3}{5} $
soit $ R=\dfrac{3}{2} $
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Juillet 2016, 3e défi

le 17 juillet 2016 à 03:08, par Saïd Benhamad

Le point de tangence avec l’hypoténuse la partage en 3 et 2.
Soit x l’angle compris entre 4 et 5 ; R le rayon du cercle.
tan x = R/2 = 3/4 donc R = 3/2 cm
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