Juillet 2014, 2ème défi

Le 11 juillet 2014 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 28 :

Dans un parallélogramme, on indique par des points les milieux des côtés et le centre du parallélogramme. On considère tous les triangles dont les sommets se trouvent parmi les points repérés précédemment. Dans chaque triangle on indique maintenant par un point les milieux des côtés et les milieux des médianes. Combien de points marqués y aura-t-il au total ?

Solution du 1er défi de Juillet

Enoncé

La réponse est $12$.

Appelons $x$ la somme des chiffres qui sont dans les positions impaires du nombre à cinq chiffres, et $y$ la somme des chiffres dans les positions paires. Observons que pour que le nombre soit divisible par $11$, $x-y$ doit être égal à $-11$, $0$ ou $11$, mais comme $x+y=1+2+4+7+9=23$, on obtient que $x-y=-11$ ou $x-y=11$.

Si $x-y=-11$ on a que $(x-y)-(x+y)=-2y=-34$ et $y=17$. Comme $y$ est la somme de deux des chiffres initiaux, $y\leq 9+7=16$ ; il n’est donc pas possible d’avoir $x-y=-11$.

Si $x-y=11$ on a que $(x-y)+(x+y)=2x=34$, d’où $x=17$. Donc, les trois nombres dans les positions impaires sont $1$, $7$ et $9$, dans un ordre quelconque, et dans les positions paires se trouvent le $2$ et le $4$. De plus, on a deux possibilités pour placer le $2$ et le $4$, et six possibilités pour placer le $1$, le $7$ et le $9$. Il y a donc $2\times 6=12$ multiples de $11$ formés avec ces chiffres.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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