Enoncé

La réponse est $\frac{3}{4}$.

Les points de coordonnées $(x,y)$, qui sont à la même distance de l’origine que du point de coordonnées $(3,1)$, vérifient l’équation :

$x^2+y^2 = (3-x)^2+(1-y)^2$

$0 = 9-6x+1-2y$

$6x+2y = 10.$

Autrement dit, ce sont les points situés sur la droite d’équation $y=5-3x$ qui passe par les points de coordonnées $(0,5)$ et $(\frac{5}{3},0)$. Cette droite divise le rectangle défini par les sommets de coordonnées $(0,0), (2,0), (2,1)$ et $(0,1)$ en deux trapèzes.

Pour connaître la probabilité qu’un point $P$ soit plus proche de l’origine que du point de coordonnées $(3,1)$, il faut diviser l’aire du trapèze de gauche par l’aire du rectangle. Puisque les bases du trapèze de gauche mesurent $\frac{5}{3}$ et $\frac{4}{3}$ respectivement, l’aire du trapèze est égale à :

$\frac{\left(\frac{5}{3}+\frac{4}{3}\right)1}{2}=\frac{3}{2}.$

Par conséquent, la probabilité recherchée est égale à

$\frac{\frac{3}{2}}{2\times 1}=\frac{3}{4}$.