Un défi par semaine

Juin 2015, 1er défi

Le 5 juin 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 23 :

Si l’on écrit les nombres de $0$ à $2015$ en base $3$, combien de ces nombres sont des palindromes (nombres qui peuvent se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche) ?

Solution du 5ème défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $\frac{3}{4}$.

Les points de coordonnées $(x,y)$, qui sont à la même distance de l’origine que du point de coordonnées $(3,1)$, vérifient l’équation :

$x^2+y^2 = (3-x)^2+(1-y)^2$

$0 = 9-6x+1-2y$

$6x+2y = 10.$

Autrement dit, ce sont les points situés sur la droite d’équation $y=5-3x$ qui passe par les points de coordonnées $(0,5)$ et $(\frac{5}{3},0)$. Cette droite divise le rectangle défini par les sommets de coordonnées $(0,0), (2,0), (2,1)$ et $(0,1)$ en deux trapèzes.

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Pour connaître la probabilité qu’un point $P$ soit plus proche de l’origine que du point de coordonnées $(3,1)$, il faut diviser l’aire du trapèze de gauche par l’aire du rectangle. Puisque les bases du trapèze de gauche mesurent $\frac{5}{3}$ et $\frac{4}{3}$ respectivement, l’aire du trapèze est égale à :

$\frac{\left(\frac{5}{3}+\frac{4}{3}\right)1}{2}=\frac{3}{2}.$

Par conséquent, la probabilité recherchée est égale à

$\frac{\frac{3}{2}}{2\times 1}=\frac{3}{4}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Denis Burdin / SHUTTERSTOCK

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  • Juin 2015, 1er défi

    le 11 juin 2015 à 21:22, par nef2240

    Bonjour,
    Encore erreur voici solution trouver tous les palindromes allant de 0 à (2015) en base3 qui vaut 2202122 donc nombre digit max =7
    (# veut dire cardinal ou nombre ensemble)
    Taille=1 a #3 0,1,2
    Taille=2 aa #2 avec a différent de 0 11,22
    Taille=3 bab avec a=0 #2 ensuite facile a=1 #3 et a=2 #3 total #8 101,201,010,111,212,020,121,222
    Taille=4 baab 0110 jusqu’à 2222 #8 0110,0220,1001,1111,1221,2002,2112,2222
    Taille=5 bacab c=0 01010 à 22022 #8 c=1 #9 et c=2 #9 total=26 01010,02020,10001,...,01110,...
    Taille=6 baccab 001 a 222 #26 001100,002200,...,222222
    Taille=7 bacdcab faire attention inférieur 2015 base 3 (2202122)
    d=0 0010100 a 2200022 #24
    d=1 0001000 a 2201022 #25
    d=2 0002000 a 2202022 #25
    En effet 2000 peut aussi se lire 0002000
    Total=147 palindromes de 0 à 2015 en base 3

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