Un défi par semaine

Juin 2016, 1er défi

Le 3 juin 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 23 :

Soit $ABCD$ un carré de côté $6$ cm. Le point $P$ divise le coté $[AB]$ de telle façon que le rapport des longueurs $AP : PB$ est de 2 sur 1. Plaçons un point $Q$ à l’intérieur du carré tel que $AQ = PQ = CQ$. Quelle est l’aire du triangle $QPC$ ?

Solution du 4e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est Norah : $8$ ; Marie : $7$ ; Irène : $5$.

Raisonnons sur le nombre de victoires de Norah.

Il y a deux cas (disjoints) dans lesquels Norah ne gagne pas : si Marie arrive avant elle (on sait que cela est arrivé $11$ fois) et si le classement est « Irène, Norah, Marie » (d’après l’énoncé, c’est arrivé au moins une fois). Il s’ensuit donc que Norah n’a pas gagné plus de $20 - 11 -1 = 8$ fois.

D’un autre côté, Irène a battu Marie $12$ fois. Autrement dit, Marie a battu Irène $20 - 12 = 8$ fois. Cela correspond à trois classements possibles : « Marie, Irène, Norah », « Norah, Marie, Irène », « Marie, Norah, Irène ». Encore une fois, chacun de ces classements étant arrivé au moins une fois, on peut affirmer que le classement « Marie, Norah, Irène » ne s’est pas produit plus de $6$ fois.

Or, quand Norah bat Irène (ce qui s’est produit $14$ fois), c’est soit que Norah arrive première, soit précisément avec ce classement « Marie, Norah, Irène ». Puisque ce classement n’est pas arrivé plus de $6$ fois, Norah a gagné au moins $14 - 6 = 8$ fois.

On a donc établi que Norah avait gagné la course exactement $8$ fois.

En reprenant les raisonnements que l’on vient de tenir, on voit que cela entraîne que les classements « Marie, Norah, Irène » et « Marie, Irène, Norah » se sont produits $6$ et $1$ fois, respectivement. Par conséquent, Marie a gagné $7$ fois. Irène a donc gagné $20 - 8 - 7 = 5$ fois.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

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  • Juin 2016, 1er défi

    le 3 juin 2016 à 10:15, par mickanubis

    Exercice sympa au lycée pour appliquer la formule de Héron

    Répondre à ce message

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