Un défi par semaine

Juin 2016, 1er défi

Le 3 juin 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 23 :

Soit $ABCD$ un carré de côté $6$ cm. Le point $P$ divise le coté $[AB]$ de telle façon que le rapport des longueurs $AP : PB$ est de 2 sur 1. Plaçons un point $Q$ à l’intérieur du carré tel que $AQ = PQ = CQ$. Quelle est l’aire du triangle $QPC$ ?

Solution du 4e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est Norah : $8$ ; Marie : $7$ ; Irène : $5$.

Raisonnons sur le nombre de victoires de Norah.

Il y a deux cas (disjoints) dans lesquels Norah ne gagne pas : si Marie arrive avant elle (on sait que cela est arrivé $11$ fois) et si le classement est « Irène, Norah, Marie » (d’après l’énoncé, c’est arrivé au moins une fois). Il s’ensuit donc que Norah n’a pas gagné plus de $20 - 11 -1 = 8$ fois.

D’un autre côté, Irène a battu Marie $12$ fois. Autrement dit, Marie a battu Irène $20 - 12 = 8$ fois. Cela correspond à trois classements possibles : « Marie, Irène, Norah », « Norah, Marie, Irène », « Marie, Norah, Irène ». Encore une fois, chacun de ces classements étant arrivé au moins une fois, on peut affirmer que le classement « Marie, Norah, Irène » ne s’est pas produit plus de $6$ fois.

Or, quand Norah bat Irène (ce qui s’est produit $14$ fois), c’est soit que Norah arrive première, soit précisément avec ce classement « Marie, Norah, Irène ». Puisque ce classement n’est pas arrivé plus de $6$ fois, Norah a gagné au moins $14 - 6 = 8$ fois.

On a donc établi que Norah avait gagné la course exactement $8$ fois.

En reprenant les raisonnements que l’on vient de tenir, on voit que cela entraîne que les classements « Marie, Norah, Irène » et « Marie, Irène, Norah » se sont produits $6$ et $1$ fois, respectivement. Par conséquent, Marie a gagné $7$ fois. Irène a donc gagné $20 - 8 - 7 = 5$ fois.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Juin 2016, 1er défi

    le 3 juin 2016 à 16:46, par Al_louarn

    En notant les angles en degrés, on a d’abord :
    $\widehat{APQ} + \widehat{QPC} + \widehat{CPB} = \widehat{APB} = 180$ car $P$ est sur $[AB]$.
    $\widehat{DCQ} + \widehat{QCP} + \widehat{PCB} = \widehat{DCB} = 90$ car $ABCD$ est un carré.

    En additionnant on obtient :
    $\widehat{APQ} + \widehat{DCQ} + \widehat{QPC} + \widehat{QCP} + \widehat{CPB} + \widehat{PCB} = 270$ (1)

    Comme $AQ=CQ$, le point $Q$ est sur la médiatrice de $[AC]$, qui n’est autre que la droite $(BD)$. Donc les triangles $DAQ$ et $DCQ$ sont symétriques par rapport à $(BD)$, et par conséquent $\widehat{DAQ} = \widehat{DCQ}$.

    Par ailleurs le triangle $AQP$ est isocèle en $Q$ donc $\widehat{APQ} = \widehat{QAP}$. Du coup :
    $\widehat{APQ} + \widehat{DCQ} = \widehat{QAP} + \widehat{DAQ} = \widehat{DAP} = 90$.

    Comme la somme des angles d’un triangle fait toujours $180$, on a aussi :
    $\widehat{QPC} + \widehat{QCP} = 180 - \widehat{CQP}$
    $\widehat{CPB} + \widehat{PCB} = 180 - \widehat{PBC} = 180 - 90 = 90$

    En reportant tous ces résultats dans l’équation (1), on obtient $\widehat{CQP} = 90$. Le triangle $CQP$ est rectangle et isocèle en $Q$ donc c’est la moitié d’un carré. Son aire est donc $\frac{QP^2}{2}$.

    D’après le théorème de Pythagore on a $QP^2 + QC^2 = PC^2$, qui devient $2QP^2 = PC^2$, d’où $\frac{QP^2}{2} = \frac{PC^2}{4}$.

    Pythagore donne encore $PC^2 = PB^2 + BC^2$.
    On sait déjà que $BC=6$.
    On sait aussi que $AP = 2PB$ et $AB = 6$ donc $PB=2$.
    Donc $PC^2 = 2^2 + 6^2 = 40$.

    L’aire du triangle est donc $\frac{QP^2}{2} = 10$cm².

    Bon, c’est un peu long à mon goût... Quelqu’un a plus simple ?

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