Un défi par semaine

Juin 2016, 1er défi

Le 3 juin 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 23 :

Soit $ABCD$ un carré de côté $6$ cm. Le point $P$ divise le coté $[AB]$ de telle façon que le rapport des longueurs $AP : PB$ est de 2 sur 1. Plaçons un point $Q$ à l’intérieur du carré tel que $AQ = PQ = CQ$. Quelle est l’aire du triangle $QPC$ ?

Solution du 4e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est Norah : $8$ ; Marie : $7$ ; Irène : $5$.

Raisonnons sur le nombre de victoires de Norah.

Il y a deux cas (disjoints) dans lesquels Norah ne gagne pas : si Marie arrive avant elle (on sait que cela est arrivé $11$ fois) et si le classement est « Irène, Norah, Marie » (d’après l’énoncé, c’est arrivé au moins une fois). Il s’ensuit donc que Norah n’a pas gagné plus de $20 - 11 -1 = 8$ fois.

D’un autre côté, Irène a battu Marie $12$ fois. Autrement dit, Marie a battu Irène $20 - 12 = 8$ fois. Cela correspond à trois classements possibles : « Marie, Irène, Norah », « Norah, Marie, Irène », « Marie, Norah, Irène ». Encore une fois, chacun de ces classements étant arrivé au moins une fois, on peut affirmer que le classement « Marie, Norah, Irène » ne s’est pas produit plus de $6$ fois.

Or, quand Norah bat Irène (ce qui s’est produit $14$ fois), c’est soit que Norah arrive première, soit précisément avec ce classement « Marie, Norah, Irène ». Puisque ce classement n’est pas arrivé plus de $6$ fois, Norah a gagné au moins $14 - 6 = 8$ fois.

On a donc établi que Norah avait gagné la course exactement $8$ fois.

En reprenant les raisonnements que l’on vient de tenir, on voit que cela entraîne que les classements « Marie, Norah, Irène » et « Marie, Irène, Norah » se sont produits $6$ et $1$ fois, respectivement. Par conséquent, Marie a gagné $7$ fois. Irène a donc gagné $20 - 8 - 7 = 5$ fois.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Juin 2016, 1er défi

    le 3 juin 2016 à 18:55, par Hugo

    Bonjour à toutes et à tous,

    ma solution n’est probablement pas la plus élégante aux yeux d’un véritable géomètre mais néanmoins rapide.
    Utilisions un repère orthonormé, de sorte que A(0,0) B(6,0) C(6,6) et D(0,6). Alors, d’après l’énoncé, P(4,0). notons x et y les coordonnées de Q. Il est facile de se convaincre que Q est sur la droite (BD), médiatrice de [AC] (puisque Q est équidistant de A et C). On a donc y=6-x. (équation de la droite BD). Par ailleurs, puisque QA = QP, on a aussi x²+y²=(x-4)²+y² ie 8x-16=0 donc x =2. en reportant il vient y = 6-2=4. On sait maintenant où est Q.

    on vérifie facilement que QP²=QC²=QA²=x²+y² = 20. Or PC² = 2²+6²=40 = QP²+QC² donc le triangle QPC est rectangle en Q. IL en résulte que l’aire cherchée vaut QP*QC/2 = 20/2=10.

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