Juin 2016, 4e défi

Le 24 juin 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 26 :

Daniel a $4$ feuilles, avec sur chacune d’elles un chiffre écrit, différent de $0$. On lui demande de former un nombre à quatre chiffres, et ensuite d’échanger deux des feuilles pour former un autre nombre à quatre chiffres.
Déterminer s’il peut former deux nombres dont le plus grand diviseur commun soit supérieur à $1$, quels que soient les chiffres de départ.

Solution du 3e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $144$ façons.

Si le produit de n’importe quel couple de nombres voisins doit être pair, il existe quatre arrangements possibles :

$pipipi,\quad ipipip, \quad ipippi \quad\text{ou}\quad ippipi$

où $p$ désigne un nombre pair et $i$ un nombre impair.
Observons que dans chacun des cas les nombres pairs peuvent se placer de $6$ manières distinctes et les nombres impairs aussi. Ainsi, le nombre de façons différentes de classer ces nombres est $4\times 6\times 6=144$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Commentaire sur l'article

Juin 2016, 4e défi

le 24 juin 2016 à 08:27, par Lina

C’est toujours possible par épuisement des cas.

1) Deux chiffres égaux : il suffit à Daniel de les permuter.

2) Un des chiffres est 2, 4, 5, 6 ou 8 : Daniel le place en unité et permute deux autres chiffres.

3) Reste la possibilité 1, 3, 7 et 9 : comme 3+7=1+9 Daniel utilise le critère de divisibilité par 11 pour avoir 1397 puis 9317
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